📌 문제 정확히 이해하기
자연수 \( n \)이 주어진 범위에서:
\[ 2 \leq n \leq 11 \]다항식:
\[ – n^2 + 13n – 40 \]의 \( n \)제곱근 중에서 음의 실수가 존재하도록 하는 \( n \)의 모든 값을 찾아 그 합을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 주어진 다항식 인수분해
주어진 식:
\[ – n^2 + 13n – 40 \]음수의 부호를 없애기 위해 \(-1\)을 묶어줍니다.
\[ – (n^2 – 13n + 40) \]여기서 \( n^2 – 13n + 40 \)을 인수분해하면,
\[ (n – 5)(n – 8) \]따라서 주어진 식은 다음과 같이 표현됩니다.
\[ – (n – 5)(n – 8) \][Step 2] 다항식이 음수가 되는 구간 찾기
다항식이 음수가 되려면,
\[ – (n – 5)(n – 8) < 0 \]즉,
\[ (n – 5)(n – 8) > 0 \]이 되는 구간을 찾아야 합니다.
이차방정식 \( (n – 5)(n – 8) = 0 \)의 해는 \( n = 5, 8 \)입니다.
2차 함수의 부호를 분석하면:
- \( n < 5 \)에서 \( (n-5)(n-8) > 0 \) (양수)
- \( 5 < n < 8 \)에서 \( (n-5)(n-8) < 0 \) (음수)
- \( n > 8 \)에서 \( (n-5)(n-8) > 0 \) (양수)
따라서, 다항식이 음수가 되는 구간은:
\[ 2 \leq n < 5 \quad \text{또는} \quad 8 < n \leq 11 \][Step 3] \( n \)제곱근에 대한 조건 추가
문제에서 \( n \)제곱근 중에서 음의 실수가 존재해야 한다는 조건이 있습니다.
이를 만족하는 \( n \)은 홀수여야 합니다.
즉, 구간 안에서 홀수인 \( n \)을 찾습니다.
- \( 2 \leq n < 5 \)에서 홀수인 \( n = 3 \)
- \( 8 < n \leq 11 \)에서 홀수인 \( n = 9, 11 \)
따라서, 이 조건을 만족하는 \( n \)은:
\[ n = 3, 9, 11 \][Step 4] 다항식이 양수가 되는 경우 추가
다항식이 양수가 되는 구간:
\[ 5 < n < 8 \]이때 \( n \)제곱근 중 실수가 존재해야 한다면, \( n \)은 짝수여야 합니다.
- \( 5 < n < 8 \)에서 짝수인 \( n = 6 \)
따라서, 이 경우를 추가하면:
\[ n = 6 \][Step 5] 조건을 만족하는 \( n \) 값들의 합 구하기
\[ 3 + 6 + 9 + 11 = 29 \]🎯 최종 정답 확인하기
따라서 정답은:
\[ \boxed{29} \]