📌 문제 정확히 이해하기
주어진 곡선:
\[ y = x^3 + x^2 – 5 \]위의 점 \( (1, -3) \)에서의 접선의 기울기를 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 접선의 기울기 구하는 방법
곡선 \( y = f(x) \)의 접선의 기울기는 미분을 통해 구할 수 있습니다. 즉, 기울기는 함수의 도함수 \( f'(x) \)를 구한 후, 해당하는 \( x \) 값을 대입하여 계산합니다.
[Step 2] 주어진 함수 미분하기
함수 \( f(x) \)를 정의합니다.
\[ f(x) = x^3 + x^2 – 5 \]양변을 \( x \)에 대해 미분하면,
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^3 + x^2 – 5 \right) \]각 항을 미분하면,
- \( \frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2 \)
- \( \frac{d}{dx} (x^2) = 2x \)
- \( \frac{d}{dx} (-5) = 0 \)
따라서, 도함수는 다음과 같이 얻어집니다.
\[ f'(x) = 3x^2 + 2x \][Step 3] \( x = 1 \)을 대입하여 기울기 계산
접선의 기울기를 구하기 위해 \( x = 1 \)을 도함수에 대입합니다.
\[ f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) \] \[ = 3(1) + 2(1) \] \[ = 3 + 2 = 5 \]🎯 최종 정답 확인하기
따라서 접선의 기울기는:
\[ \boxed{5} \]