📌 문제 이해하기
주어진 방정식:
\[ (2\sin{x} – 1)(2\cos{x} – \sqrt{3}) = 0 \]곱셈 형태의 방정식에서 해를 찾는 기본 원칙:
- 두 개의 수의 곱이 0이 되려면, 둘 중 하나가 0이어야 한다.
- 즉, 다음 두 방정식을 각각 풀면 된다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 첫 번째 방정식 풀이: \( 2\sin{x} – 1 = 0 \)
① 식을 정리하기
\[ 2\sin{x} – 1 = 0 \]양변에 1을 더하면:
\[ 2\sin{x} = 1 \]양변을 2로 나누면:
\[ \sin{x} = \frac{1}{2} \]② 해 찾기
삼각 함수에서 \( \sin{x} = \frac{1}{2} \) 가 되는 각은:
\[ x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{5\pi}{6} \]주어진 범위 \( 0 \leq x \leq 2\pi \) 에서 \( \sin{x} = \frac{1}{2} \) 를 만족하는 해는:
\[ x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{5\pi}{6} \][Step 2] 두 번째 방정식 풀이: \( 2\cos{x} – \sqrt{3} = 0 \)
① 식을 정리하기
\[ 2\cos{x} – \sqrt{3} = 0 \]양변에 \( \sqrt{3} \) 를 더하면:
\[ 2\cos{x} = \sqrt{3} \]양변을 2로 나누면:
\[ \cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]② 해 찾기
삼각 함수에서 \( \cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 가 되는 각은:
\[ x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{11\pi}{6} \]주어진 범위 \( 0 \leq x \leq 2\pi \) 에서 \( \cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 를 만족하는 해는:
\[ x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{11\pi}{6} \][Step 3] 모든 해의 합 구하기
찾은 모든 해:
\[ x = \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6}, \quad \frac{11\pi}{6} \]이제 이들의 합을 구합니다.
\[ \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} \]같은 분모로 정리하면:
\[ \frac{1\pi + 5\pi + 1\pi + 11\pi}{6} \] \[ \frac{18\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \]🎯 최종 정답 확인하기
따라서, 모든 해의 합은:
\[ \boxed{\frac{17\pi}{6}} \]