고3-모의고사-0320-7번

📌 문제 이해하기

주어진 함수는 이차함수 \( f(x) = ax^2 – (a^2 – 3)x \)이며, 이 함수가 \( x = 1 \)에서 극솟값을 갖는다고 합니다.

즉, 극점(극대 또는 극소)이 되는 지점이 \( x = 1 \)이므로, 이를 활용하여 미분 후 극점의 조건을 찾아야 합니다.

이후, \( f(2) \)의 값을 구하는 것이 문제의 목표입니다.

✅ 단계별 풀이 과정

[Step 1] 함수의 극값 조건을 활용하여 \( a \)의 값을 찾기

🔹 극댓값 또는 극솟값이 존재하려면?

이차함수에서 극값이 존재하려면, 미분한 함수 \( f'(x) \)가 특정 \( x \) 값에서 0이 되어야 합니다.

1. 주어진 함수 \[ f(x) = ax^2 – (a^2 – 3)x \]
2. 미분하여 \( f'(x) \) 구하기 \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( ax^2 – (a^2 – 3)x \right) \] \[ = 2ax – (a^2 – 3) \]
3. 극값 조건을 적용

   함수가 \( x = 1 \)에서 극값을 가지므로, \( f'(1) = 0 \)이 되어야 합니다.

   \[ 2a(1) – (a^2 – 3) = 0 \] \[ 2a – a^2 + 3 = 0 \]
4. 이차방정식 형태로 정리 \[ a^2 – 2a – 3 = 0 \]

   이를 인수분해하면,

   \[ (a – 3)(a + 1) = 0 \]
5. 가능한 \( a \)의 값 찾기 \[ a – 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \] \[ a + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \]
6. 올바른 \( a \) 값 선택하기

   문제에서 \( a \neq 0 \)이지만, 추가적으로 주어진 이차함수 \( f(x) \)가 아래로 볼록한 극솟값을 가져야 하므로 이차항의 계수 \( a \)가 양수여야 합니다.

   • \( a = 3 \) → 가능 (아래로 볼록한 포물선)
   • \( a = -1 \) → 불가능 (위로 볼록하여 극대값이 됨)

   따라서, \( a = 3 \)을 선택합니다.

[Step 2] \( a = 3 \)을 함수에 대입하여 \( f(2) \) 계산하기

\( a = 3 \)을 원래의 식에 대입하여 함수 \( f(x) \)를 구해보겠습니다.

이제, \( f(2) \)를 계산합니다.

🎯 최종 정답 확인하기

따라서, \( f(2) \)의 값은 \( 0 \) 입니다.