📌 문제 이해하기
세 지점 A, B, C의 거리와 각도를 이용해 호수의 넓이를 구하는 문제입니다.
세 점을 지나도록 하는 원이 존재한다면, 그 원의 반지름을 구하고, 넓이 공식을 이용해 구할 수 있습니다.
- \( AB = 80 \, \text{m} \)
- \( AC = 100 \, \text{m} \)
- \( \angle CAB = 60^\circ \)
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 코사인 법칙으로 \( BC \) 구하기
삼각형 \( \triangle ABC \)에서 두 변과 끼인각이 주어졌으므로 코사인 법칙을 사용할 수 있습니다.
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle CAB \] \[ = 80^2 + 100^2 – 2 \cdot 80 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ \] \[ = 6400 + 10000 – 16000 \cdot \frac{1}{2} = 16400 – 8000 = 8400 \] \[ \Rightarrow BC = \sqrt{8400} \][Step 2] 사인 법칙으로 원의 반지름 \( R \) 구하기
사인 법칙을 이용해 원의 반지름을 구합니다.
\[ \frac{BC}{\sin \angle CAB} = 2R \Rightarrow 2R = \frac{\sqrt{8400}}{\sin 60^\circ} \] \[ = \frac{\sqrt{8400}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{8400}}{\sqrt{3}} \Rightarrow R = \frac{\sqrt{8400}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2800} \][Step 3] 원의 넓이 계산
\[ \text{넓이} = \pi R^2 = \pi \cdot (\sqrt{2800})^2 = \pi \cdot 2800 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{2800\pi \, \text{m}^2} \]📝 마무리 정리
1. 코사인 법칙이란?
삼각형에서 두 변과 끼인각이 주어졌을 때, 나머지 변을 구할 수 있는 공식입니다.
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]2. 사인 법칙이란?
삼각형의 각 변과 그에 대응하는 각의 사인을 이용해 다음과 같은 비례식을 만들 수 있습니다.
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]특히 외접원의 반지름 R에 대한 공식도 다음과 같이 나옵니다:
\[ \frac{a}{\sin A} = 2R \]3. 원의 넓이 공식
반지름이 \( R \)인 원의 넓이는 가장 기본적으로 다음과 같습니다.
\[ \text{넓이} = \pi R^2 \]