📌 문제 이해하기
이 문제는 좌표평면 위 두 함수 \( f(x) = x^2 \), \( g(x) = x^3 \)의 그래프와 관련된 도형 문제입니다.
여러 개의 정사각형을 구성하고, 그 변의 길이를 좌표로 나타낸 다음, 그 관계를 식으로 정리하여 \( a \)의 값을 구하는 것이 목표입니다.
✅ 단계별 풀이
[Step 1] 각 점의 좌표를 함수와 도형 조건으로 정리하기
- \( P_1(a, a^2) \): 함수 \( f(x) = x^2 \) 위의 점
- \( Q_1(a, 0) \): \( P_1 \)의 수선의 발
- 정사각형 \( OQ_1AB \): 한 변의 길이 = \( a \)
- \( P_2 \): \( g(x) = x^3 \) 위에서 정사각형 위쪽에 있음 → \( b = \sqrt[3]{a} \)
- \( Q_2(\sqrt[3]{a}, 0) \): \( P_2 \)의 수선의 발
- 정사각형 \( OQ_2CD \): 한 변의 길이 = \( \sqrt[3]{a} \)
- \( P_3 \): \( f(x) = x^2 \) 위에서 정사각형 위쪽에 있음 → \( c = \sqrt{\sqrt[3]{a}} = a^{1/6} \)
- \( Q_3(a^{1/6}, 0) \): \( P_3 \)의 수선의 발
[Step 2] 주어진 조건 활용하기
문제에서 \( b \cdot c = 2 \)라고 했습니다.
따라서,
\[ b \cdot c = \sqrt[3]{a} \cdot a^{1/6} = a^{1/3 + 1/6} = a^{1/2} \] \[ a^{1/2} = 2 \Rightarrow a = 4 \][Step 3] 최종값 구하기
점 \( P_1 \)의 \( y \)-좌표는 \( f(a) = a^2 \) 이므로
\[ f(a) = 4^2 = 16 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{16} \]📝 마무리 정리
1. 함수 위의 점에서 수선의 발과 좌표
함수 위의 한 점에서 수직선을 그었을 때 생기는 수선의 발의 좌표는 쉽게 예측할 수 있습니다.
예: \( P(a, f(a)) \)의 수선의 발은 \( Q(a, 0) \)
2. 정사각형의 한 변을 기준으로 \( y \)-좌표를 유추
정사각형 위쪽 꼭짓점의 \( y \)-좌표는 한 변의 길이와 같습니다.
따라서 다음 꼭짓점은 함수 위에 있는 점이 되고, 이 때 좌표를 다시 함수식에 대입해 표현할 수 있습니다.
3. 지수법칙 복습
- \( \sqrt[n]{a} = a^{1/n} \)
- \( \sqrt{a^b} = a^{b/2} \)
- \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
이 문제에서는 다음 계산을 활용했습니다:
\[ a^{1/3} \cdot a^{1/6} = a^{1/2} \]그리고 \( a^{1/2} = 2 \Rightarrow a = 4 \)