📌 문제 이해하기
약품을 투여한 후 시간이 지날수록 혈액 속에 남아 있는 약품의 양이 줄어드는 지수함수 문제입니다.
주어진 식:
\[ Q = 10^{1 – 0.02T} \]\(T\)는 경과 시간(분), \(Q\)는 혈액 속에 남은 약품의 양입니다.
✅ 단계별 풀이
[Step 1] 5분 후의 양을 a로 나타내기
문제에서 5분 후 혈액 속에 남아 있는 약품의 양을 \(a\)라고 했습니다.
\[ a = 10^{1 – 0.02 \times 5} = 10^{1 – 0.1} = 10^{0.9} \][Step 2] 35분 후의 약품의 양 구하기
같은 식에 \(T = 35\)를 대입하면,
\[ Q = 10^{1 – 0.02 \times 35} = 10^{1 – 0.7} = 10^{0.3} \][Step 3] 35분 후 양을 \(a\)로 나타내기
우리는 이미 \(a = 10^{0.9}\)임을 알고 있으므로,
\[ 10^{0.3} = (10^{0.9})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a} \]따라서 35분 후 남아 있는 양은 \(\sqrt[3]{a}\)입니다.
🎯 최종 정답
\[ \boxed{\sqrt[3]{a}} \Rightarrow \boxed{1번} \]📝 마무리 정리
1. 지수함수란?
지수함수는 시간에 따라 양이 증가하거나 감소하는 현상을 수학적으로 모델링한 식입니다.
예: \(Q = a^{bx}\), 여기서 \(b < 0\)이면 감소 함수입니다.
2. 지수법칙 복습
- \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
- \(\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}\)
이번 문제에서는 다음과 같은 변형을 했습니다.
\[ 10^{0.3} = (10^{0.9})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} \]이와 같은 지수의 성질은 약물 농도, 반감기, 감가상각 등 현실 문제에서도 자주 쓰입니다.