📌 문제
\[ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi,\quad \cos \theta = -\frac{2}{3} \] 일 때, \( \sin \theta \)의 값을 구하여라.
✅ 풀이 과정
[1단계] 삼각함수 항등식 이용
삼각함수의 대표적인 항등식은 다음과 같습니다:
\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \]주어진 \( \cos \theta = -\frac{2}{3} \)을 대입하면:
\[ \sin^2 \theta + \left(-\frac{2}{3} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \theta + \frac{4}{9} = 1 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{5}{9} \][2단계] 사분면에 따라 부호 결정
\[ \sin^2 \theta = \frac{5}{9} \Rightarrow \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \]
그런데 \( \frac{\pi}{2} < \theta < \pi \)는 2사분면이고, 이때 사인 함수는 양수입니다.
\[ \therefore \sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{\frac{\sqrt{5}}{3}} \]📝 마무리 정리
1. 삼각함수 기본 항등식
삼각함수에는 다음과 같은 항등식이 항상 성립합니다:
\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \]하나의 값을 알면 나머지를 쉽게 계산할 수 있습니다.
2. 사분면별 부호 판단
각 \( \theta \)가 어떤 사분면에 있느냐에 따라 삼각함수의 부호가 달라집니다:
- 1사분면: \( \sin > 0, \cos > 0 \)
- 2사분면: \( \sin > 0, \cos < 0 \)
- 3사분면: \( \sin < 0, \cos < 0 \)
- 4사분면: \( \sin < 0, \cos > 0 \)
이 문제는 2사분면에 해당하므로 \( \sin \theta > 0 \)이 됩니다.