고3 - 모의고사 - 1059865-13

문제 이해하기

주어진 삼각방정식 $\sin x \tan x = - \frac{3}{2}$ 의 해를 구하고, $0 \leq x \leq 2 π$ 구간에서 모든 해의 합을 구하는 문제입니다.

단계별 풀이 과정

[Step 1] 삼각함수 식 변형

\sin x \tan x = \frac{\sin^{2} x}{\cos x} \Rightarrow \frac{\sin^{2} x}{\cos x} = - \frac{3}{2}

[Step 2] $\sin^{2} x$ 를 $\cos x$ 로 바꾸기

2 \sin^{2} x = - 3 \cos x \Rightarrow 2 (1 - \cos^{2} x) = - 3 \cos x \Rightarrow 2 - 2 \cos^{2} x + 3 \cos x = 0 \Rightarrow 2 \cos^{2} x - 3 \cos x - 2 = 0

[Step 3] 이차방정식 풀기

(2 \cos x + 1) (\cos x - 2) = 0

\cos x = - \frac{1}{2} 또는 \cos x = 2

하지만 $\cos x = 2$ 는 정의역 내에서 불가능하므로

\cos x = - \frac{1}{2}

[Step 4] $\cos x = - \frac{1}{2}$ 의 해 구하기

$0 \leq x \leq 2 π$ 에서 $\cos x = - \frac{1}{2}$ 이 되는 $x$ 는 다음과 같습니다:

x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}

[Step 5] 모든 근의 합

\frac{2 π}{3} + \frac{4 π}{3} = 2 π

최종 정답

2 π

마무리 정리

1. 삼각함수의 곱 표현

삼각함수의 곱에서 $\sin x \tan x = \frac{\sin^{2} x}{\cos x}$ 라는 삼각함수의 기본 성질을 활용하면 문제를 다항방정식처럼 변형할 수 있습니다.

2. 삼각방정식의 해

$\cos x = - \frac{1}{2}$ 의 해는 단위원 위의 각도로, $2 π / 3$ 과 $4 π / 3$ 에서 성립함을 알 수 있습니다. 이는 삼각함수의 주기성과 좌표값으로 확인할 수 있습니다.

3. 삼각함수 방정식 풀 때 주의점

삼각함수는 주기함수이므로 해가 여러 개일 수 있습니다.
해당 범위 내의 해만 고려하는 것이 중요합니다.

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단계별 풀이 과정

[Step 1] 삼각함수 식 변형

[Step 2] $\sin^{2} x$ 를 $\cos x$ 로 바꾸기

[Step 3] 이차방정식 풀기

[Step 4] $\cos x = - \frac{1}{2}$ 의 해 구하기

[Step 5] 모든 근의 합

최종 정답

마무리 정리

1. 삼각함수의 곱 표현

2. 삼각방정식의 해

3. 삼각함수 방정식 풀 때 주의점

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[Step 2] sin2⁡x를 cos⁡x로 바꾸기

[Step 3] 이차방정식 풀기

[Step 4] cos⁡x=−12의 해 구하기

[Step 5] 모든 근의 합

최종 정답

마무리 정리

1. 삼각함수의 곱 표현

2. 삼각방정식의 해

3. 삼각함수 방정식 풀 때 주의점

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