📌 문제 이해하기
부등식 \( \sin 2x > \dfrac{1}{2} \)의 해를 \( 0 \leq x < \pi \) 범위에서 구하고, 그 해의 구간을 \( \alpha < x < \beta \)라고 할 때, \( \beta - \alpha \)의 값을 묻는 문제입니다.
✅ 풀이 과정
[Step 1] 치환과 범위 설정
우선 \( 2x = t \)라고 두면,
\[ 0 \leq x < \pi \Rightarrow 0 \leq t < 2\pi \][Step 2] \( \sin t > \dfrac{1}{2} \)의 해 찾기
함수 \( y = \sin t \)에서 \( \dfrac{1}{2} \)보다 큰 값을 가지는 구간을 그림 없이 생각해 봅시다. 삼각함수 \( \sin t \)는 아래와 같이 정리됩니다:
\[ \sin t > \frac{1}{2} \text{ 인 } t \text{의 범위는 } \frac{\pi}{6} < t < \frac{5\pi}{6} \][Step 3] 다시 \( x \)로 바꾸기
\[ \frac{\pi}{6} < 2x < \frac{5\pi}{6} \Rightarrow \frac{\pi}{12} < x < \frac{5\pi}{12} \]따라서 부등식을 만족하는 \( x \)의 범위는:
\[ \alpha = \frac{\pi}{12}, \quad \beta = \frac{5\pi}{12} \] \[ \beta – \alpha = \frac{5\pi}{12} – \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{\dfrac{\pi}{3}} \]📝 마무리 정리
1. 삼각함수 부등식 해석
\( \sin \theta > \dfrac{1}{2} \)의 해는 일반적으로 단위원을 이용하거나, 그래프를 통해 구간을 찾는 것이 효과적입니다.
2. 삼각함수의 그래프적 특징
\( \sin \theta \)는 \( \theta = \dfrac{\pi}{6} \)에서 \( \dfrac{1}{2} \)이고, 증가 후 감소하여 \( \dfrac{5\pi}{6} \)에서 다시 \( \dfrac{1}{2} \)가 됩니다. 이 사이 구간에서 \( \dfrac{1}{2} \)보다 큰 값을 가집니다.
3. 치환 풀이법
삼각부등식을 풀 때는 \( 2x = t \)처럼 치환하고 전체 해를 구한 후, 다시 원래 변수로 바꾸는 전략이 자주 사용됩니다.