📌 문제 이해하기
삼각형 ABC의 외접원의 반지름이 4이고, 변의 길이의 비가 \( AB : BC : CA = 1 : \sqrt{2} : 2 \)일 때, \( CA \)의 길이를 구하는 문제입니다.
✅ 풀이 과정
[Step 1] 변의 길이를 비례식으로 설정
길이 비를 유지하면서 실제 길이를 구하기 위해 임의의 양수 \( k \)를 도입합니다.
\[ AB = \sqrt{2}k,\quad BC = k,\quad CA = 2k \][Step 2] 코사인 법칙으로 \( \angle B \) 구하기
\[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{k^2 + (2k)^2 – (\sqrt{2}k)^2}{2k \cdot 2k} = \frac{k^2 + 4k^2 – 2k^2}{4k^2} = \frac{3k^2}{4k^2} = \frac{3}{4} \][Step 3] 사인 법칙으로 외접원 반지름 이용
사인 법칙에 따르면,
\[ \frac{a}{\sin B} = 2R \Rightarrow \frac{\sqrt{2}k}{\sin B} = 2 \cdot 4 = 8 \Rightarrow \sin B = \frac{\sqrt{2}k}{8} \]앞에서 \( \cos B = \frac{3}{4} \)였으므로,
\[ \sin B = \sqrt{1 – \cos^2 B} = \sqrt{1 – \left( \frac{3}{4} \right)^2} = \sqrt{1 – \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \][Step 4] 위 두 식을 연결하여 \( k \)의 값 구하기
\[ \frac{\sqrt{2}k}{8} = \frac{\sqrt{7}}{4} \Rightarrow \sqrt{2}k = 2\sqrt{7} \Rightarrow k = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \sqrt{14} \][Step 5] CA의 길이 계산
\[ CA = 2k = 2\sqrt{14} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{2\sqrt{14}} \]📝 마무리 정리
- 삼각형의 변의 길이 비는 실제 길이를 알기 위해 비례 상수를 도입하여 표현합니다.
- 코사인 법칙은 세 변의 길이와 각의 관계를 이용해 각을 구할 수 있는 유용한 도구입니다.
- 사인 법칙을 통해 외접원의 반지름을 활용할 수 있으며, 각과 변의 길이의 비례 관계가 주어질 때 매우 유용합니다.