📘 문제
△ABC에서 다음과 같은 삼각함수 관계식이 성립한다.
\[ 6\sin A = 2\sqrt{3}\sin B = 3\sin C \]이때, \( \angle A \)의 크기를 구하시오.
✅ 풀이
먼저, 각 식을 다음과 같이 \( k \)라는 실수로 통일해서 나타냅니다.
\[ 6\sin A = 2\sqrt{3}\sin B = 3\sin C = k \]각각의 삼각함수를 \( k \)에 대한 식으로 바꾸면,
\[ \sin A = \frac{k}{6}, \quad \sin B = \frac{k}{2\sqrt{3}}, \quad \sin C = \frac{k}{3} \]삼각형 ABC에서 사인 법칙에 따라, 변의 길이의 비는 다음과 같습니다.
\[ a : b : c = \frac{k}{6} : \frac{k}{2\sqrt{3}} : \frac{k}{3} \]공통된 \( k \)를 약분해주면,
\[ a : b : c = \frac{1}{6} : \frac{1}{2\sqrt{3}} : \frac{1}{3} \]모든 비를 통분하여 정리해주면,
\[ a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2 \]이 비율은 30도-60도-90도 직각삼각형의 변의 비율과 같습니다.
따라서 삼각형 ABC는 직각삼각형이며, \( \angle C = 90^\circ \)이고, 변 \( a \)에 대응하는 \( \angle A \)는 30도입니다.
🎯 정답
\[ \boxed{30^\circ} \]📝 마무리 정리
- 삼각비를 통해 변의 길이 비를 알 수 있고, 그 비율이 유명한 삼각형의 형태(예: 30도, 60도, 90도 삼각형)와 일치하면 각을 쉽게 추정할 수 있습니다.
- 삼각비 비율: \( 1 : \sqrt{3} : 2 \)는 외워두면 매우 유용합니다.
- 이 문제에서는 사인법칙을 역으로 이용하여 각을 구하는 것이 핵심입니다.