📌 문제 이해하기
모든 항이 양수인 등비수열 \( \{a_n\} \)에서 \( a_1 a_9 = 36 \)일 때, 다섯 번째 항 \( a_5 \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 풀이 과정
[Step 1] 등비수열의 일반항 표현
등비수열에서 공비를 \( r \)이라 하면,
\[ a_9 = a_1 r^8 \]따라서,
\[ a_1 a_9 = a_1 \cdot a_1 r^8 = a_1^2 r^8 \]한편, \( a_5 = a_1 r^4 \)이므로,
\[ a_1^2 r^8 = (a_1 r^4)^2 = a_5^2 \]즉,
\[ a_5^2 = 36 \Rightarrow a_5 = \sqrt{36} = 6 \](모든 항이 양수이므로 \( a_5 > 0 \)임을 이용)
🎯 최종 정답
\[ \boxed{6} \]📝 마무리 정리
1. 등비수열의 항의 곱
같은 수열의 항들 중에서 첫째항과 마지막항의 곱은 중간항의 제곱으로 표현할 수 있습니다.
예: \( a_1 a_9 = (a_5)^2 \) → 대칭적 위치!
2. 등비수열의 성질
등비수열은 곱셈적인 규칙을 따르므로, 어떤 항을 기준으로 앞뒤 대칭 관계에 있는 항들은 곱이 같다는 점도 활용할 수 있습니다.