📌 문제 이해하기
지수로 표현된 세 수
\[ A = 2^{\frac{1}{2}}, \quad B = 3^{\frac{1}{3}}, \quad C = 9^{\frac{1}{9}} \]의 대소 관계를 비교하는 문제입니다.
✅ 풀이 과정
[Step 1] 각 수를 같은 지수로 바꿔 보기
세 수의 대소를 비교하기 위해, 세 수를 같은 지수로 변형해보겠습니다.
지수 18로 통일하여 계산하면,
- \[ A^{18} = \left( 2^{\frac{1}{2}} \right)^{18} = 2^9 = 512 \]
- \[ B^{18} = \left( 3^{\frac{1}{3}} \right)^{18} = 3^6 = 729 \]
- \[ C^{18} = \left( 9^{\frac{1}{9}} \right)^{18} = 9^2 = 81 \]
지수 18으로 바꾸었을 때 수의 크기는 다음과 같습니다:
\[ C^{18} = 81 < A^{18} = 512 < B^{18} = 729 \]따라서 원래 수의 대소관계도 같으므로,
\[ C < A < B \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{⑤ \quad C < A < B} \]📝 마무리 정리
1. 지수 비교의 핵심 전략
거듭제곱 형태의 수들끼리 비교할 때는 지수를 통일하거나 밑을 통일해주는 방식으로 비교하는 것이 좋습니다.
이 문제에서는 \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}\)의 공배수인 18로 지수를 통일하여 쉽게 비교할 수 있었습니다.
2. 로그를 이용한 비교 (심화)
또 다른 방법으로는 로그를 활용해도 되는데,
\[ \log A = \frac{1}{2} \log 2, \quad \log B = \frac{1}{3} \log 3, \quad \log C = \frac{1}{9} \log 9 \]이 수들의 로그값을 계산해도 비교가 가능합니다.
3. 실생활 예시
이런 비교 문제는 금융, 물리학, 약물 농도 변화 등에서 자주 등장합니다. 예를 들어 어떤 약의 농도 감소율, 복리 이자율 등을 비교할 때 유용합니다.