📌 문제
모든 항이 양수인 등비수열 \( \{a_n\} \)에 대하여
\( a_1 + a_2 = 6a_3 \)일 때, \( \dfrac{a_2}{a_1} \)의 값은?
✅ 풀이
공비를 \( r \)이라 하면, 등비수열의 일반항은 다음과 같습니다.
- \( a_2 = a_1 r \)
- \( a_3 = a_1 r^2 \)
조건에 따라 정리하면:
\[ a_1 + a_1 r = 6a_1 r^2 \]양변을 \( a_1 \)로 나눕니다. (단, \( a_1 > 0 \))
\[ 1 + r = 6r^2 \]식 정리:
\[ 6r^2 – r – 1 = 0 \]인수분해:
\[ (3r + 1)(2r – 1) = 0 \Rightarrow r = -\dfrac{1}{3}, \quad r = \dfrac{1}{2} \]모든 항이 양수이므로 공비 \( r > 0 \) 이어야 하므로,
\[ r = \dfrac{1}{2} \]따라서,
\[ \dfrac{a_2}{a_1} = r = \dfrac{1}{2} \]