📘 문제 풀이
첫째항이 3이고, 모든 항이 양수인 등비수열 \( \{a_n\} \)에 대해,
\[ \frac{S_7 – S_4}{a_5} = 7 \] 일 때, \( a_4 \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 풀이 과정
[Step 1] 등비수열의 공비를 \( r \)이라 두기
모든 항이 양수이므로 \( r > 0 \)입니다. 등비수열에서 합의 차 \( S_7 – S_4 \)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\[ S_7 – S_4 = a_5 + a_6 + a_7 = a_5 + a_5 r + a_5 r^2 = a_5 (1 + r + r^2) \]따라서 문제 조건은 다음과 같습니다.
\[ \frac{a_5(1 + r + r^2)}{a_5} = r^2 + r + 1 = 7 \][Step 2] 방정식 풀기
\[ r^2 + r + 1 = 7 \Rightarrow r^2 + r – 6 = 0 \] \[ (r + 3)(r – 2) = 0 \Rightarrow r = 2 \quad (\text{양수 조건이므로}) \][Step 3] \( a_4 \) 계산
첫째항 \( a_1 = 3 \), 공비 \( r = 2 \)이므로
\[ a_4 = a_1 \cdot r^{3} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = \boxed{24} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{24} \]📝 마무리 정리
- 등비수열의 합 구간 \( S_m – S_n \)은 개별 항들의 합으로 바꾸면 계산이 편리합니다.
- 공비 \( r \)가 양수라는 조건은 해를 선택할 때 중요한 역할을 합니다.
- 지수법칙과 수열의 일반항 표현을 활용하는 연습이 필요합니다.