문제
수열 \( \{a_n\} \)의 일반항이 \( a_n = \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \)일 때,
\( \sum_{n=1}^{99} a_n \)의 값을 구하시오.
풀이
\( a_n = \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \log \left( \frac{n+1}{n} \right) \)이므로,
\( \sum_{n=1}^{99} a_n = \sum_{n=1}^{99} \log \left( \frac{n+1}{n} \right) \)
이 합은 로그의 성질을 이용하여 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
\( = \log \left( \frac{2}{1} \right) + \log \left( \frac{3}{2} \right) + \log \left( \frac{4}{3} \right) + \cdots + \log \left( \frac{100}{99} \right) \)
로그의 덧셈은 곱셈으로 통합되어,
\( = \log \left( \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 100}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 99} \right) = \log \left( \frac{100!}{99!} \right) = \log(100) \)
따라서, 정답은 \( \boxed{2} \)입니다.