문제
자연수 \( n \)에 대하여 함수 \( y = x^2 – 2x – 3 \)의 그래프와 직선 \( y = nx + n \)이 만나는 두 점의 \( x \)좌표를 각각 \( a_n, b_n \) \((a_n < b_n)\)이라 할 때,
\( \sum_{k=1}^{20} (2a_k + b_k) \)의 값은?
풀이
함수 \( y = x^2 – 2x – 3 \)와 직선 \( y = nx + n \)의 교점을 구하기 위해 두 식을 같다고 놓습니다.
\[ x^2 – 2x – 3 = nx + n \Rightarrow x^2 – (2 + n)x – (3 + n) = 0 \]
이 이차방정식의 두 해가 \( a_n \)과 \( b_n \)입니다. 이 방정식을 다시 정리하면 \[ x^2 + x – (n + 2)(x – (n + 3)) = 0 \Rightarrow (x + 1)(x – (n + 3)) = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ 또는 } x = n + 3 \] 입니다.
그러므로, \( a_n = -1 \), \( b_n = n + 3 \)
따라서, \[ 2a_n + b_n = 2(-1) + (n + 3) = -2 + n + 3 = n + 1 \] \[ \sum_{k=1}^{20} (2a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{20} (k + 1) = \sum_{k=1}^{20} k + \sum_{k=1}^{20} 1 = \frac{20 \cdot 21}{2} + 20 = 210 + 20 = 230 \]