📌 문제 요약
이 문제는 다음과 같은 합을 계산하는 문제입니다.
$$\sum_{n=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$$
이 식의 값을 계산하는 것이 목표입니다.
이제부터 아래 방식대로 아주 자세하게 풀이해드릴게요. (1) 왜 그렇게 푸는지 이유 설명 (2) 식을 한 줄씩 해석하듯이 진행 (3) 마지막엔 핵심 개념 정리까지!
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 주어진 식 살펴보기
주어진 식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$$
분모에 루트가 있는 형태로, 바로 계산하기 어려우므로 유리화를 활용해야 합니다.
🔵 Step 2. 유리화하기
다음과 같이 분모 유리화를 합니다.
$$ \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} – \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{(n+1) – n} = \sqrt{n+1} – \sqrt{n} $$
따라서 각 항은 다음과 같이 간단해집니다.
🔵 Step 3. 합으로 다시 표현하기
전체 합은 다음과 같이 바뀝니다.
$$\sum_{n=1}^{15} (\sqrt{n+1} – \sqrt{n})$$
이는 망원급수(Telescoping Series) 형태이므로, 중간 항이 모두 소거되고 다음만 남습니다.
$$ (\sqrt{2} – \sqrt{1}) + (\sqrt{3} – \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{16} – \sqrt{15}) = \sqrt{16} – \sqrt{1} = 4 – 1 = 3 $$
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 망원급수: $\sum (\text{다음항} – \text{이전항})$의 형태는 대부분 앞