🔖 문제 요약
주어진 수열 {a_n}은 다음 조건을 만족합니다:
- 첫째 항: \( a_1 = 2 \)
- 둘째 항: \( a_2 = 3 \)
- 점화식: \( a_{n+2} – a_{n+1} + 2a_n = 5 \)
이 조건을 바탕으로 여섯 번째 항인 \( a_6 \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔍 Step 1. 점화식을 정리해 보기
문제에서 주어진 점화식:
\( a_{n+2} = a_{n+1} – 2a_n + 5 \)
이 식은 바로 이전 두 항 \( a_n \), \( a_{n+1} \)을 이용하여 다음 항을 구할 수 있게 해 줍니다. 즉, \( a_1 \)과 \( a_2 \)가 주어져 있으므로 순차적으로 \( a_3 \), \( a_4 \), …를 구할 수 있습니다.
🔢 Step 2. 차례대로 항을 구해 보기
초기항: \( a_1 = 2 \), \( a_2 = 3 \)
➤ \( a_3 \) 구하기
\( a_3 = a_2 – 2a_1 + 5 = 3 – 2 \times 2 + 5 = 3 – 4 + 5 = 4 \)
➤ \( a_4 \) 구하기
\( a_4 = a_3 – 2a_2 + 5 = 4 – 6 + 5 = 3 \)
➤ \( a_5 \) 구하기
\( a_5 = a_4 – 2a_3 + 5 = 3 – 8 + 5 = 0 \)
➤ \( a_6 \) 구하기
\( a_6 = a_5 – 2a_4 + 5 = 0 – 6 + 5 = -1 \)
✅ 정답
따라서, \( a_6 = \boxed{-1} \)
🧠 마무리 개념 정리
💡 점화식(재귀식)이란?
수열의 어떤 항을 이전 항들을 이용하여 나타내는 식입니다. 이 문제에서는 \( a_{n+2} \)을 \( a_n \), \( a_{n+1} \)을 통해 정의하므로, 순차적으로 항을 구해갈 수 있습니다.
💡 수열 계산 팁
초기항이 두 개 주어졌고 점화식이 2차 재귀형이면, 그 다음 항부터 하나씩 값을 계산해 나가는 것이 가장 안정적입니다.