📌 문제 요약
수열 \( \{a_n\} \)이 모든 자연수 \( n \)에 대하여
\( a_n + a_{n+1} = 2^n \) 를 만족하고, \( a_1 = 1 \)일 때
\( a_4 \)의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제는 수열의 점화식이 주어졌을 때, 초항으로부터 차례로 값을 구해나가는 유형입니다.
지금부터 다음 방식대로 풀이해드릴게요. (1) 왜 그렇게 푸는지 이유 설명 (2) 식을 한 줄씩 해석하듯이 진행 (3) 마지막엔 핵심 개념 정리까지!
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 점화식에 값을 차례대로 대입하기
먼저 초항 \( a_1 = 1 \) 이 주어졌으므로, 이를 이용해 차례로 구해봅니다.
- \( n = 1 \)일 때: \[ a_1 + a_2 = 2^1 = 2 \Rightarrow 1 + a_2 = 2 \Rightarrow a_2 = 1 \]
- \( n = 2 \)일 때: \[ a_2 + a_3 = 2^2 = 4 \Rightarrow 1 + a_3 = 4 \Rightarrow a_3 = 3 \]
- \( n = 3 \)일 때: \[ a_3 + a_4 = 2^3 = 8 \Rightarrow 3 + a_4 = 8 \Rightarrow a_4 = 5 \]
🔵 Step 2. 최종값 확인
따라서 구하려는 값은 다음과 같습니다.
\[ a_4 = 5 \]
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 점화식이 주어진 수열 문제는 초항부터 차례로 값을 대입하며 구하는 것이 기본
- 주어진 등식이 \( a_n + a_{n+1} = \text{우변} \)의 형태일 때는 앞에서부터 누적 계산하면 됨
✅ 최종 정답
정답: ①번, \( \boxed{5} \)