📌 문제 이해하기
주어진 식을 지수법칙과 근호 표현을 이용하여 변환한 뒤, 주어진 \( a, b \)의 값으로 새로운 식을 표현하는 문제입니다.
주어진 조건은 다음과 같습니다:
- \( a = \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}} \)
- \( b = \sqrt[6]{4} = (2^2)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} \)
다음 식을 \( a \), \( b \)로 나타내야 합니다:
\[ \sqrt[12]{6} = (2 \cdot 3)^{\frac{1}{12}} = 2^{\frac{1}{12}} \cdot 3^{\frac{1}{12}} \]✅ 풀이 과정
[Step 1] a와 b를 지수로 바꾸기
우선 \( a = 3^{\frac{1}{4}} \), \( b = 2^{\frac{1}{3}} \)로 표현되므로
\( a^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{12}} \)
\( b^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{12}} \)
따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다:
\[ \sqrt[12]{6} = 2^{\frac{1}{12}} \cdot 3^{\frac{1}{12}} = b^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{3}} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{4}}} \]보기에서 정답은 ②번입니다.
📝 마무리 정리
1. 지수법칙 복습
- \( \sqrt[n]{x} = x^{1/n} \)
- \( (x^a)^b = x^{a \cdot b} \)
- \( x^a \cdot x^b = x^{a+b} \)
2. 표현 바꾸기 팁
근호로 표현된 수들을 지수 형태로 바꾸면, 곱셈이나 나눗셈 관계를 더 쉽게 다룰 수 있습니다.
예를 들어 \( \sqrt[6]{4} \)처럼 복잡해 보여도 \( 4 = 2^2 \)로 바꾸고 다시 \( (2^2)^{1/6} = 2^{1/3} \)로 변환하면 훨씬 깔끔합니다.