📌 문제 이해하기
\(\log_2{3} = a\), \(\log_2{5} = b\)일 때, \(\log_{10}{9}\)을 \(a\), \(b\)로 나타내는 문제입니다.
✅ 풀이 과정
[Step 1] 밑변환 공식 사용
밑이 다른 로그는 다음 공식으로 변환할 수 있습니다.
\[ \log_{10}{9} = \frac{\log_2{9}}{\log_2{10}} \][Step 2] 로그 성질을 활용한 정리
\[ \log_2{9} = \log_2{3^2} = 2\log_2{3} = 2a \] \[ \log_2{10} = \log_2{(2 \times 5)} = \log_2{2} + \log_2{5} = 1 + b \][Step 3] 전체 식 정리
\[ \log_{10}{9} = \frac{2a}{1 + b} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{\frac{2a}{1 + b}} \quad \text{(④번)} \]📝 마무리 정리
1. 로그의 밑변환 공식
로그의 밑이 다를 때는 다음 공식을 사용합니다.
\[ \log_b{a} = \frac{\log_k{a}}{\log_k{b}} \quad (k는 임의의 밑) \]2. 로그의 성질 복습
- \(\log_b{(xy)} = \log_b{x} + \log_b{y}\)
- \(\log_b{(x^n)} = n \log_b{x}\)
- \(\log_b{b} = 1\)
이 문제는 로그의 성질과 밑변환 공식만 정확히 알고 있다면 간단하게 해결할 수 있는 유형입니다.