📌 문제 이해하기
다음 식이 정수가 되도록 하는 50 이하의 자연수 \( n \)의 개수를 구하는 문제입니다.
\[ \frac{1}{4} \log 2^{2n} + \frac{1}{2} \log 5^n \]✅ 풀이 과정
[Step 1] 로그 성질을 이용하여 정리
로그의 곱과 거듭제곱 성질을 이용해 식을 간단히 정리합니다.
\[ \frac{1}{4} \log 2^{2n} = \frac{1}{4} \cdot 2n \log 2 = \frac{n}{2} \log 2 \] \[ \frac{1}{2} \log 5^n = \frac{1}{2} \cdot n \log 5 = \frac{n}{2} \log 5 \]두 항을 더해주면,
\[ \frac{n}{2} \log 2 + \frac{n}{2} \log 5 = \frac{n}{2} (\log 2 + \log 5) \] \[ = \frac{n}{2} \log (2 \cdot 5) = \frac{n}{2} \log 10 = \frac{n}{2} \]즉, 주어진 식은 결국 \( \frac{n}{2} \)입니다.
[Step 2] 정수가 되기 위한 조건
이 값이 정수가 되기 위해서는 \( \frac{n}{2} \)가 정수여야 하므로, \( n \)은 반드시 2의 배수여야 합니다.
[Step 3] 50 이하의 자연수 중 2의 배수 개수
1부터 50까지의 자연수 중 2의 배수는
\[ 2, 4, 6, \ldots, 50 \]이는 공차 2인 등차수열로, 개수는 다음과 같습니다.
\[ \frac{50}{2} = 25 \text{개} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{25} \]정답: ②번
📝 마무리 정리
1. 로그의 성질
- \( \log a^b = b \log a \)
- \( \log ab = \log a + \log b \)
2. 정수가 되는 조건
소수 형태의 수식을 정수로 만들기 위해서는 분모가 사라져야 하며, 이때 주어진 식 \( \frac{n}{2} \)에서 \( n \)이 2의 배수여야 정수가 됩니다.
3. 등차수열의 항 개수 구하기
등차수열에서 첫째항이 \( a \), 마지막 항이 \( l \), 공차가 \( d \)일 때 항의 개수는 다음과 같습니다.
\[ \text{개수} = \frac{l – a}{d} + 1 \]이번 문제에서는 \( 2, 4, 6, …, 50 \) 이므로, \( \frac{50 – 2}{2} + 1 = 25 \)개입니다.