📌 문제 이해하기
1보다 큰 두 실수 \( a, b \)에 대하여
\[ \log_a \left( \frac{a^3}{b^2} \right) = 2 \]가 성립할 때,
\[ \log_a b + 3 \log_b a \]의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 풀이 과정
[Step 1] 로그 식 정리
먼저 로그의 성질을 이용해 주어진 식을 정리합니다.
\[ \log_a \left( \frac{a^3}{b^2} \right) = \log_a a^3 – \log_a b^2 = 3 – 2 \log_a b \]따라서, 주어진 식
\[ 3 – 2 \log_a b = 2 \] \[ \Rightarrow \log_a b = \frac{1}{2} \][Step 2] 바꿔치기: \( \log_b a \) 구하기
로그의 밑변환 공식에 의해
\[ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \][Step 3] 문제에서 요구하는 값 계산
\[ \log_a b + 3 \log_b a = \frac{1}{2} + 3 \cdot 2 = \frac{1}{2} + 6 = \frac{13}{2} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{\frac{13}{2}} \]📝 마무리 정리
1. 로그의 기본 성질 복습
- \( \log_a \frac{m}{n} = \log_a m – \log_a n \)
- \( \log_a m^k = k \log_a m \)
- \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)
2. 문제에서 사용된 핵심 개념
이 문제는 로그의 변환 공식과 성질을 자유자재로 다루는지를 평가하는 문제로, 로그 밑변환 공식을 반드시 기억해야 쉽게 풀 수 있습니다.