고3 - 모의고사 - 1059865-7

문제 이해하기

함수 $y = \log_{\frac{1}{3}} (x^{2} + 2 x + 10)$ 의 최댓값을 구하는 문제입니다.

로그 함수의 밑이 1보다 작으면 감소 함수가 되므로, 로그 안의 값이 작을수록 로그 값은 커집니다.

밑이 $\frac{1}{3}$ 과 같은 경우, 로그 함수는 감소 함수입니다. 즉,

로그 안의 식을 완전제곱식으로 정리하면:

x^{2} + 2 x + 10 = (x + 1)^{2} + 9

따라서 이 식의 최소값은 $(x + 1)^{2} = 0$ 일 때이고, 그때의 값은:

(x + 1)^{2} + 9 = 9

y = \log_{\frac{1}{3}} (9) = \log_{\frac{1}{3}} (3^{2}) = 2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} (3)

\log_{\frac{1}{3}} (3) = - 1 \Rightarrow y = 2 \cdot (- 1) = - 2

- 2

$x^{2} + 2 x + 10$ 같은 식은 완전제곱식으로 바꾸는 것이 핵심입니다.

x^{2} + 2 x + 10 = (x + 1)^{2} + 9

이 방법은 함수의 극값을 빠르게 찾을 수 있게 도와줍니다.

지수를 앞에 곱하는 성질: $\log_{b} (a^{n}) = n \log_{b} a$

밑과 진수가 역수 관계면 $\log_{\frac{1}{b}} (b) = - 1$

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따라서, 함수의 최댓값은 $- 2$ 입니다.