📌 문제 이해하기
로그 함수의 부등식 해를 구하고, 그 해 중에서 정수의 개수를 구하는 문제입니다.
주어진 부등식:
\[ \log_3(x+1) + \log_3(x-5) < 3 \]✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 정의역 조건 확인
로그의 진수는 양수여야 하므로 아래와 같은 조건을 먼저 만족해야 합니다.
\[ x + 1 > 0 \quad \text{and} \quad x – 5 > 0 \Rightarrow x > 5 \][Step 2] 로그의 합 → 곱으로 정리
로그 덧셈 공식을 이용합니다.
\[ \log_3(x+1) + \log_3(x-5) = \log_3\left((x+1)(x-5)\right) \]따라서 부등식은 다음과 같이 바뀝니다.
\[ \log_3\left((x+1)(x-5)\right) < 3 \]로그의 양변에 밑을 취하면:
\[ (x+1)(x-5) < 3^3 = 27 \][Step 3] 부등식 정리
\[ x^2 – 4x – 5 < 27 \Rightarrow x^2 - 4x - 32 < 0 \]이차부등식을 풀면,
\[ (x + 4)(x – 8) < 0 \Rightarrow -4 < x < 8 \]정의역 조건 \( x > 5 \)와 함께 고려하면,
\[ 5 < x < 8 \][Step 4] 정수의 개수 구하기
위 범위 안의 정수는 \( x = 6, 7 \), 총 2개입니다.
🎯 최종 정답
\[ \boxed{2} \]📝 마무리 정리
1. 로그의 정의역
로그 함수는 진수가 양수일 때만 정의되므로 반드시 \( \log_b(A) \)에서 \( A > 0 \) 조건을 확인해야 합니다.
2. 로그 덧셈 공식
로그끼리 더하면 곱셈으로 바꿀 수 있습니다:
\[ \log_b A + \log_b B = \log_b (AB) \]3. 이차부등식 해석
부등식 \( (x+4)(x-8) < 0 \)은 두 해 사이의 값일 때 성립하므로, 해석 시 구간을 정확히 파악하는 것이 중요합니다.
이처럼 로그와 이차부등식이 함께 나올 때는 정의역 조건 + 부등식 해석을 꼼꼼히 확인하면 쉽게 풀 수 있습니다.