📌 문제 이해하기
다음 방정식의 두 근을 α, β라고 할 때, \( \alpha \times \beta \)의 값을 구하는 문제입니다.
\[ 2^x – 10 + 2^{4 – x} = 0 \]✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 치환을 통한 식의 단순화
우변과 좌변 모두 \( 2^x \)와 관련된 항이므로,
\[ 2^x = t \quad (t > 0) \] \[ 2^{4 – x} = \frac{2^4}{2^x} = \frac{16}{t} \]따라서 식은 다음과 같이 바뀝니다.
\[ t – 10 + \frac{16}{t} = 0 \][Step 2] 양변에 \( t \)를 곱하여 정리
\[ t^2 – 10t + 16 = 0 \Rightarrow (t – 2)(t – 8) = 0 \] \[ \Rightarrow t = 2 \quad \text{또는} \quad t = 8 \][Step 3] 다시 \( x \)의 값으로 복원
\( 2^x = t \) 였으므로,
\[ 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 \] \[ 2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3 \]즉, \( \alpha = 1 \), \( \beta = 3 \)
[Step 4] 최종값 계산
\[ \alpha \times \beta = 1 \times 3 = \boxed{3} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{3} \]📝 마무리 정리
1. 치환으로 식을 간단히
지수 함수가 여러 항에 섞여 있으면, \( t \)로 치환하여 이차방정식으로 바꾸는 것이 핵심입니다.
2. 지수 역수 성질 활용
\[ 2^x \cdot 2^{4 – x} = 2^4 = 16 \]서로 곱해서 일정한 값을 만드는 지수항은 역수 관계로 보며 식을 정리할 수 있습니다.
3. 지수방정식에서 해 복원
\( 2^x = a \)이면, 밑이 간단한 2의 거듭제곱이면 로그 없이도 쉽게 해를 알 수 있습니다.
4. 해의 곱
문제에서 근의 곱을 물을 경우, 복잡한 해를 직접 구하지 않고 곱셈만 계산하면 됩니다.