📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 수직선 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD를 그리고, 대각선 BD의 길이를 이용하여 점 P의 위치(\(\overline{BD}=\overline{BP}\))를 정할 때, 세 점 P, A, B의 좌표 \(p, a, b\) 사이의 관계를 파악하고, 이들의 유리수/무리수 여부에 대한 보기의 설명이 옳은지 판별하는 문제입니다.
- 대각선 길이 계산: 피타고라스 정리를 이용하여 정사각형 ABCD의 대각선 BD의 길이를 구합니다.
- 좌표 관계식 설정: 점 P는 점 B를 중심으로 하고 반지름이 BD인 호가 수직선과 만나는 점(B의 왼쪽)이므로, \(p\)를 \(b\)와 BD 길이로 표현합니다. 또한, 정사각형의 변의 길이가 1이므로 \(a\)를 \(b\)로 표현합니다.
- 유리수/무리수 성질 적용: 보기 (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ) 각각의 조건 (“p가 무리수이면”, “p가 유리수이면”, “a가 유리수이면”)을 가정하고, 좌표 관계식과 유리수/무리수의 연산 성질을 이용하여 결론이 참인지 거짓인지 판별합니다.
핵심 개념:
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이 \(c\), 다른 두 변 길이 \(x, y\)일 때 \(x^2 + y^2 = c^2\).
- 수직선 위 좌표: 기준점 \(b\)에서 왼쪽으로 거리 \(d\)만큼 떨어진 점의 좌표는 \(b-d\).
- 유리수/무리수 연산 성질:
- (유리수) ± (유리수) = (유리수)
- (유리수) ± (무리수) = (무리수)
- (무리수) ± (무리수) = 결과는 유리수일 수도, 무리수일 수도 있음. (예: \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\)(유리수), \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)(무리수))
- (0 아닌 유리수) \(\times\) (무리수) = (무리수)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 정사각형 대각선 길이 \(\overline{BD}\) 계산
정사각형 ABCD는 한 변의 길이가 1입니다. 직각삼각형 ABD에서 피타고라스 정리를 적용하면,
$$ \overline{BD}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AD}^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 $$
따라서 대각선의 길이는 \(\overline{BD} = \sqrt{2}\) 입니다.
Step 2: 점 P의 좌표 \(p\) 표현
문제 조건에서 \(\overline{BP} = \overline{BD} = \sqrt{2}\) 입니다. 점 P는 점 B(좌표 \(b\))에서 왼쪽으로 \(\sqrt{2}\)만큼 떨어진 점입니다.
따라서 점 P의 좌표 \(p\)는 다음과 같이 표현됩니다.
$$ p = b – \sqrt{2} $$
Step 3: 점 A의 좌표 \(a\) 표현
점 A는 정사각형의 변 AB의 길이가 1이므로, 점 B(좌표 \(b\))에서 왼쪽으로 1만큼 떨어진 점입니다.
따라서 점 A의 좌표 \(a\)는 다음과 같이 표현됩니다.
$$ a = b – 1 $$
Step 4: 보기 (ㄱ) 분석
보기 (ㄱ): “p가 무리수이면, a, b는 무리수이다.”
이 명제가 참인지 확인하기 위해 반례를 찾아봅니다. 만약 \(b=0\) (유리수)이라면, Step 3에 의해 \(a = b-1 = 0-1 = -1\) (유리수)입니다. 이때 Step 2에 의해 \(p = b – \sqrt{2} = 0 – \sqrt{2} = -\sqrt{2}\)가 됩니다. \(-\sqrt{2}\)는 무리수입니다.
즉, \(p=-\sqrt{2}\) (무리수)일 때, \(a=-1\) (유리수), \(b=0\) (유리수)인 경우가 존재합니다.
따라서 \(p\)가 무리수라고 해서 반드시 \(a, b\)가 무리수인 것은 아니므로, 보기 (ㄱ)은 옳지 않습니다.
Step 5: 보기 (ㄴ) 분석
보기 (ㄴ): “p가 유리수이면, a+b는 무리수이다.”
\(p = b – \sqrt{2}\)에서 \(p\)가 유리수라고 가정합니다. 만약 \(b\)가 유리수라면, (유리수) – (무리수) = (무리수)가 되어 \(p\)가 무리수가 되므로 가정에 모순입니다. 따라서 \(b\)는 반드시 무리수여야 합니다. (\(b = p + \sqrt{2}\) 형태이므로, (유리수)+(무리수)=(무리수))
\(b\)가 무리수이면, \(a = b – 1\)에서 (무리수) – (유리수) = (무리수)이므로 \(a\)도 무리수입니다.
이제 \(a+b\)를 계산합니다: \(a+b = (b-1) + b = 2b – 1\).
\(b\)가 무리수이므로, 0이 아닌 유리수 2를 곱한 \(2b\)도 무리수입니다. 여기서 유리수 1을 뺀 \(2b-1\)도 무리수입니다. (단, \(2b-1\)이 0이 되는 경우는 제외해야 하지만, \(2b-1=0\)이면 \(b=1/2\)인데, \(b\)는 무리수여야 하므로 이 경우는 발생하지 않습니다.)
따라서 \(p\)가 유리수이면 \(a+b\)는 무리수이므로, 보기 (ㄴ)은 옳습니다.
Step 6: 보기 (ㄷ) 분석
보기 (ㄷ): “a가 유리수이면, p는 무리수이다.”
\(a = b – 1\)에서 \(a\)가 유리수라고 가정합니다. 만약 \(b\)가 무리수라면, (무리수) – (유리수) = (무리수)가 되어 \(a\)가 무리수가 되므로 가정에 모순입니다. 따라서 \(b\)는 반드시 유리수여야 합니다. (\(b = a + 1\) 형태이므로, (유리수)+(유리수)=(유리수))
이제 \(p = b – \sqrt{2}\)를 살펴봅니다. \(b\)가 유리수이고 \(\sqrt{2}\)는 무리수이므로, (유리수) – (무리수) = (무리수)입니다.
따라서 \(a\)가 유리수이면 \(p\)는 무리수이므로, 보기 (ㄷ)은 옳습니다.
Step 7: 최종 결론
분석 결과, 옳은 보기는 (ㄴ)과 (ㄷ)입니다.
따라서 문제의 정답은 (ㄴ), (ㄷ)을 모두 포함하는 ④입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 기하학적 상황(정사각형과 수직선)을 좌표와 연결하고, 유리수와 무리수의 기본 성질을 이용하여 명제의 참/거짓을 판별하는 통합적인 문제입니다.
- 기하와 좌표 연결: 도형의 길이(대각선)를 계산하고, 이를 수직선 위 점의 좌표 관계식(\(p = b-\sqrt{2}\), \(a=b-1\))으로 변환하는 것이 첫 단계입니다.
- 유리수/무리수 판별: 관계식을 바탕으로, 한 변수의 유리수/무리수 조건이 다른 변수 또는 식의 값에 어떤 영향을 미치는지 추론합니다. 이때 유리수와 무리수의 덧셈, 뺄셈에 대한 성질을 정확히 적용해야 합니다.
- (유리수) ± (무리수) = (무리수) 라는 성질이 핵심적으로 사용됩니다.
- 명제 분석: “if A then B” 형태의 명제를 분석할 때는, A를 가정한 후 논리적으로 B가 반드시 성립하는지 확인합니다. 반례가 하나라도 존재하면 그 명제는 거짓입니다.
각 보기의 조건을 정확히 이해하고, 유리수/무리수 연산 성질을 체계적으로 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
④