📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 각 \(\theta\)의 범위(\(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\)) 내에서, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경 OP와 각 \(6\theta\)를 나타내는 동경이 일치할 때의 \(\theta\) 값을 찾는 문제입니다. 두 동경이 일치한다는 조건을 일반각을 이용하여 수식으로 표현하고, 주어진 \(\theta\)의 범위를 만족시키는 해를 찾는 전략을 사용합니다.
- 동경 일치 조건 설정: 두 각 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 나타내는 동경이 일치하면, 두 각의 차이는 \(2\pi\)의 정수 배가 됩니다. 즉, \(\alpha – \beta = 2n\pi\) (단, \(n\)은 정수)
- 방정식 풀이: 위 조건을 이용하여 \(6\theta\)와 \(\theta\)에 대한 방정식을 세우고, \(\theta\)에 대해 정리하여 일반해를 구합니다. (\(\theta = f(n)\) 형태)
- 범위 적용: 구해진 일반해 \(\theta = f(n)\)이 주어진 범위 \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\)를 만족하도록 하는 정수 \(n\)의 값을 찾습니다.
- \(\theta\) 값 결정: 찾은 정수 \(n\)을 \(\theta = f(n)\)에 대입하여 특정 \(\theta\) 값을 계산합니다.
일반각과 동경의 위치 관계:
두 각 \(\alpha, \beta\)를 나타내는 동경이 일치할 조건:
$$ \alpha – \beta = 2n\pi \quad (\text{단, } n\text{은 정수}) $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 동경 일치 조건 적용 및 방정식 설정
각 \(6\theta\)를 나타내는 동경과 각 \(\theta\)를 나타내는 동경이 일치하므로, 두 각의 차이는 \(2\pi\)의 정수 배입니다.
$$ 6\theta – \theta = 2n\pi \quad (\text{단, } n\text{은 정수}) $$
Step 2: \(\theta\)에 대한 일반해 구하기
Step 1에서 세운 방정식을 정리합니다.
$$ 5\theta = 2n\pi $$
양변을 5로 나누어 \(\theta\)에 대한 일반해를 구합니다.
$$ \theta = \frac{2n\pi}{5} $$
Step 3: 주어진 범위를 만족하는 정수 \(n\) 찾기
문제에서 주어진 \(\theta\)의 범위는 \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\) 입니다.
Step 2에서 구한 일반해를 이 부등식에 대입합니다.
$$ \frac{\pi}{2} < \frac{2n\pi}{5} < \pi $$
부등식의 각 변을 \(\pi\)로 나눕니다. (\(\pi > 0\)이므로 부등호 방향 불변)
$$ \frac{1}{2} < \frac{2n}{5} < 1 $$
각 변에 5를 곱합니다.
$$ \frac{5}{2} < 2n < 5 $$
각 변을 2로 나눕니다.
$$ \frac{5}{4} < n < \frac{5}{2} $$
이를 소수로 나타내면 \(1.25 < n < 2.5\) 입니다.
이 범위를 만족하는 정수 \(n\)은 2 뿐입니다.
Step 4: 특정 \(\theta\) 값 계산
Step 3에서 찾은 정수 \(n=2\)를 일반해 \(\theta = \frac{2n\pi}{5}\)에 대입하여 구체적인 \(\theta\) 값을 계산합니다.
$$ \theta = \frac{2 \times 2 \times \pi}{5} = \frac{4\pi}{5} $$
계산된 값 \(\theta = \frac{4\pi}{5}\)는 주어진 범위 \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\) (\(\frac{2.5\pi}{5} < \theta < \frac{5\pi}{5}\))를 만족합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 일반각의 개념과 동경의 위치 관계를 이해하고 적용하는 능력을 평가합니다.
- 동경의 일치: 두 각을 나타내는 동경이 일치하면, 그 차이가 \(360^\circ \times n\) 또는 \(2n\pi\) (여기서 \(n\)은 정수)임을 이용하여 방정식을 세우는 것이 핵심입니다.
- 일반해와 특정해: 방정식을 풀면 정수 \(n\)을 포함하는 일반해가 나오고, 주어진 각의 범위를 이용하여 이 범위에 맞는 특정 정수 \(n\)값을 찾아 대입하면 문제의 조건을 만족하는 특정 각(해)을 구할 수 있습니다.
\(6\theta\)와 \(\theta\)의 동경이 일치하므로 \(6\theta – \theta = 2n\pi\) 라는 관계식을 세우고, 주어진 \(\theta\)의 범위를 이용하여 가능한 정수 \(n\)을 찾는 것이 문제 해결의 순서입니다.
✅ 최종 정답
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