📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 구간 \([0, 2\pi]\)에서 부등식 \(\cos x – \sin^2 x + a \le 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값을 구하는 문제입니다. 이는 삼각함수를 포함한 부등식이 특정 범위에서 항상 성립할 조건을 찾는 문제입니다.
핵심 전략은 다음과 같습니다.
- 삼각함수 통일: \(\sin^2 x = 1 – \cos^2 x\) 관계를 이용하여 부등식을 \(\cos x\)에 대한 식으로 통일합니다.
- 치환: \(\cos x = t\)로 치환하여 부등식을 \(t\)에 대한 이차부등식으로 변환합니다. 이때, 치환된 변수 \(t\)의 범위를 구하는 것이 매우 중요합니다. (\(x \in [0, 2\pi]\) 일 때 \(-1 \le \cos x \le 1\))
- 이차함수 최대값 활용: 변환된 이차부등식 \(f(t) \le 0\)이 주어진 \(t\)의 범위에서 항상 성립하려면, 해당 범위에서 \(f(t)\)의 최댓값이 0보다 작거나 같아야 합니다.
- 최댓값 조건 풀이: 이차함수의 그래프를 이용하여 주어진 범위 내에서 최댓값을 찾고, 이 최댓값이 0 이하가 되도록 하는 \(a\)의 범위를 구한 후, \(a\)의 최댓값을 결정합니다.
핵심 공식 및 개념:
- 삼각함수 제곱 관계: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
- 코사인 함수의 치역: 모든 실수 \(x\)에 대해 \(-1 \le \cos x \le 1\)
- 이차함수 \(y=At^2+Bt+C\) (단, \(A>0\))의 최대/최소:
- 주어진 구간 \([\alpha, \beta]\) 내에서 최댓값은 구간의 양 끝점 \(\alpha, \beta\) 중 축에서 더 멀리 떨어진 점에서 발생합니다.
- 축 \(t = -\frac{B}{2A}\)
- 항상 성립하는 부등식: 구간 내 모든 \(t\)에 대해 \(f(t) \le 0\) 이려면, 구간 내 \(f(t)\)의 최댓값이 0보다 작거나 같아야 합니다. (\(\max f(t) \le 0\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 부등식 변형 (삼각함수 통일)
주어진 부등식은 \(\cos x – \sin^2 x + a \le 0\) 입니다.
\(\sin^2 x = 1 – \cos^2 x\)를 대입하여 \(\cos x\)로 통일합니다.
$$ \cos x – (1 – \cos^2 x) + a \le 0 $$
괄호를 풀고 정리합니다.
$$ \cos x – 1 + \cos^2 x + a \le 0 $$
$$ \cos^2 x + \cos x + a – 1 \le 0 $$
Step 2: \(\cos x\) 치환 및 범위 설정
\(\cos x = t\)로 치환합니다.
주어진 \(x\)의 범위는 \([0, 2\pi]\) 입니다. 이 범위에서 \(\cos x\)가 가질 수 있는 값의 범위는 \(-1 \le \cos x \le 1\) 입니다.
따라서 치환된 변수 \(t\)의 범위는 \(-1 \le t \le 1\) 입니다.
치환한 부등식은 다음과 같습니다.
$$ t^2 + t + a – 1 \le 0 \quad (\text{단, } -1 \le t \le 1) $$
Step 3: 이차함수 정의 및 분석
부등식의 좌변을 \(t\)에 대한 함수로 정의합니다.
$$ f(t) = t^2 + t + a – 1 $$
이 함수는 아래로 볼록한 포물선입니다. 포물선의 축의 방정식은 다음과 같습니다.
$$ t = -\frac{B}{2A} = -\frac{1}{2(1)} = -\frac{1}{2} $$
축 \(t = -\frac{1}{2}\)는 주어진 범위 \([-1, 1]\) 안에 있습니다.
Step 4: 부등식 항상 성립 조건 확인
부등식 \(f(t) \le 0\)이 \(-1 \le t \le 1\) 범위의 모든 \(t\)에 대해 항상 성립해야 합니다.
아래로 볼록한 포물선이 특정 구간에서 항상 0 이하의 값을 가지려면, 그 구간에서의 최댓값이 0보다 작거나 같아야 합니다.
$$ \max_{t \in [-1, 1]} f(t) \le 0 $$
Step 5: 범위 내에서 \(f(t)\)의 최댓값 구하기
아래로 볼록한 포물선 \(f(t) = t^2 + t + a – 1\)의 축은 \(t = -\frac{1}{2}\) 입니다.
구간 \([-1, 1]\)에서 최댓값은 축에서 가장 멀리 떨어진 점에서 발생합니다.
- 축과 \(t=1\) 사이의 거리: \(|1 – (-\frac{1}{2})| = |\frac{3}{2}| = \frac{3}{2}\)
- 축과 \(t=-1\) 사이의 거리: \(|-1 – (-\frac{1}{2})| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}\)
\(t=1\)이 축에서 더 멀리 떨어져 있으므로, 최댓값은 \(t=1\)에서 발생합니다.
$$ \max f(t) = f(1) = (1)^2 + (1) + a – 1 = 1 + 1 + a – 1 = 1 + a $$
Step 6: \(a\)의 범위 구하기
Step 4의 조건 (\(\max f(t) \le 0\))에 Step 5에서 구한 최댓값을 대입합니다.
$$ f(1) \le 0 $$
$$ 1 + a \le 0 $$
따라서 \(a\)의 범위는 다음과 같습니다.
$$ a \le -1 $$
Step 7: 실수 \(a\)의 최댓값 결정
부등식이 항상 성립하기 위한 조건은 \(a \le -1\) 입니다.
따라서 실수 \(a\)의 최댓값은 -1 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 특정 구간에서 삼각부등식이 항상 성립할 조건을 찾는 문제입니다. 해결 과정은 다음과 같은 핵심 단계로 이루어집니다.
- 치환을 통한 변환: 삼각함수를 하나의 문자로 치환하여 익숙한 다항 부등식(주로 이차부등식) 문제로 변환합니다. 이때 치환된 문자의 범위를 정확히 설정하는 것이 매우 중요합니다.
- 이차함수의 최대/최소 활용: 제한된 범위에서 이차부등식이 항상 성립할 조건을 따질 때는, 해당 범위 내에서 이차함수의 최댓값 또는 최솟값을 이용합니다.
- \(f(t) \le 0\)이 항상 성립하려면 \(\max f(t) \le 0\)
- \(f(t) \ge 0\)이 항상 성립하려면 \(\min f(t) \ge 0\)
- 이차함수 최대/최소 구하기: 제한된 범위 \([\alpha, \beta]\)에서 이차함수의 최대/최소는 축의 위치와 구간의 양 끝점에서의 함수값을 비교하여 결정합니다.
삼각함수, 치환, 이차함수의 최대/최소 개념을 복합적으로 적용해야 하는 문제입니다.
✅ 최종 정답
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