📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 모든 실수 \(x\)에 대하여 주어진 삼각부등식 \(-\cos^2 x – 5\sin x – a + 9 \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값을 찾는 문제입니다. 부등식에 \(\sin x\)와 \(\cos^2 x\)가 함께 있으므로, 삼각함수 제곱 관계를 이용하여 하나의 삼각함수로 통일한 후, 치환을 통해 이차부등식 문제로 변환하여 해결하는 전략을 사용합니다.
- 삼각함수 통일: \(\cos^2 x = 1 – \sin^2 x\)를 이용하여 부등식을 \(\sin x\)에 대한 식으로 만듭니다.
- 부등식 정리: \(a\)에 대해 부등식을 정리하거나, \(\sin x\)에 대한 함수 형태로 정리합니다.
- 치환 및 범위 설정: \(\sin x = t\)로 치환합니다. 모든 실수 \(x\)에 대해 \(-1 \le \sin x \le 1\)이므로, 치환된 변수 \(t\)의 범위는 \(-1 \le t \le 1\)이 됩니다.
- 이차함수 최소값 활용: 정리된 부등식을 \(f(t) \ge a\) 또는 \(g(t) \ge 0\) 형태로 만듭니다. 부등식이 \(t\)의 범위 \([-1, 1]\)에서 항상 성립하려면, 해당 범위에서 좌변 함수(\(f(t)\) 또는 \(g(t)\))의 최솟값이 조건을 만족해야 합니다.
- \(f(t) \ge a\) 형태라면, \(a\)는 \(f(t)\)의 최솟값보다 작거나 같아야 합니다 (\(a \le \min f(t)\)).
- \(g(t) \ge 0\) 형태라면, \(g(t)\)의 최솟값이 0보다 크거나 같아야 합니다 (\(\min g(t) \ge 0\)).
- 최솟값 계산 및 \(a\)의 범위 결정: 제한된 범위 \([-1, 1]\)에서 이차함수의 최솟값을 구하고, 이를 이용하여 \(a\)의 범위를 결정한 후 \(a\)의 최댓값을 찾습니다.
핵심 공식 및 개념:
- 삼각함수 제곱 관계: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
- 사인 함수의 치역: 모든 실수 \(x\)에 대해 \(-1 \le \sin x \le 1\)
- 이차함수 \(y=At^2+Bt+C\)의 최소값 (단, \(A>0\)):
- 축 \(t = -\frac{B}{2A}\)가 주어진 구간 \([\alpha, \beta]\) 안에 있으면, 최솟값은 꼭짓점에서 발생 (\(f(-\frac{B}{2A})\)).
- 축이 구간 밖에 있으면, 최솟값은 구간의 양 끝점 \(\alpha, \beta\) 중 축에 더 가까운 점에서 발생합니다.
- 항상 성립하는 부등식:
- 구간 내 모든 \(t\)에 대해 \(f(t) \ge a\) 이려면, \(a\)는 구간 내 \(f(t)\)의 최솟값보다 작거나 같아야 합니다 (\(a \le \min f(t)\)).
- 구간 내 모든 \(t\)에 대해 \(g(t) \ge 0\) 이려면, 구간 내 \(g(t)\)의 최솟값이 0보다 크거나 같아야 합니다 (\(\min g(t) \ge 0\)).
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 부등식 변형 (삼각함수 통일)
주어진 부등식은 \(-\cos^2 x – 5\sin x – a + 9 \ge 0\) 입니다.
\(\cos^2 x = 1 – \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)로 통일합니다.
$$ -(1 – \sin^2 x) – 5\sin x – a + 9 \ge 0 $$
괄호를 풀고 정리합니다.
$$ -1 + \sin^2 x – 5\sin x – a + 9 \ge 0 $$
$$ \sin^2 x – 5\sin x + 8 – a \ge 0 $$
이 부등식을 \(a\)에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$ \sin^2 x – 5\sin x + 8 \ge a $$
이 부등식이 모든 실수 \(x\)에 대해 성립하려면, \(a\)는 좌변 \(\sin^2 x – 5\sin x + 8\)의 최솟값보다 작거나 같아야 합니다.
Step 2: \(\sin x\) 치환 및 범위 설정
\(\sin x = t\)로 치환합니다.
모든 실수 \(x\)에 대하여 \(-1 \le \sin x \le 1\) 이므로, 치환된 변수 \(t\)의 범위는 \(-1 \le t \le 1\) 입니다.
치환한 부등식은 다음과 같습니다.
$$ t^2 – 5t + 8 \ge a \quad (\text{단, } -1 \le t \le 1) $$
Step 3: 이차함수 정의 및 분석
부등식의 좌변을 \(t\)에 대한 함수로 정의합니다.
$$ f(t) = t^2 – 5t + 8 $$
이 함수는 아래로 볼록한 포물선입니다. 이 함수의 최솟값을 범위 \([-1, 1]\)에서 찾아야 합니다.
포물선의 축의 방정식은 다음과 같습니다.
$$ t = -\frac{B}{2A} = -\frac{-5}{2(1)} = \frac{5}{2} = 2.5 $$
Step 4: 범위 내에서 \(f(t)\)의 최솟값 구하기
축 \(t = 2.5\)는 주어진 범위 \([-1, 1]\)의 오른쪽 밖에 있습니다.
아래로 볼록한 포물선에서 축이 구간의 오른쪽에 있을 경우, 함수는 해당 구간에서 감소합니다.
따라서, 구간 \([-1, 1]\)에서의 최솟값은 구간의 오른쪽 끝점인 \(t=1\)에서 발생합니다.
최솟값을 계산합니다.
$$ \min_{t \in [-1, 1]} f(t) = f(1) = (1)^2 – 5(1) + 8 = 1 – 5 + 8 = 4 $$
Step 5: \(a\)의 범위 및 최댓값 결정
부등식 \(f(t) \ge a\)가 범위 \(-1 \le t \le 1\)에서 항상 성립하기 위한 조건은 \(a\)가 \(f(t)\)의 최솟값보다 작거나 같아야 하는 것입니다.
$$ a \le \min_{t \in [-1, 1]} f(t) $$
Step 4에서 구한 최솟값을 대입합니다.
$$ a \le 4 $$
따라서, 주어진 부등식이 모든 실수 \(x\)에 대해 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값은 4 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
모든 실수 \(x\)에 대해 삼각부등식이 항상 성립할 조건을 찾는 문제는 다음과 같은 절차로 해결합니다.
- 삼각함수 통일: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)을 이용하여 하나의 삼각함수로 통일합니다.
- 치환: 해당 삼각함수를 \(t\)로 치환하고, \(t\)의 범위(\([-1, 1]\))를 설정합니다.
- 이차부등식 해석: 문제를 제한된 범위에서 이차부등식이 항상 성립할 조건으로 변환합니다.
- \(g(t) \ge 0\) 형태이면, \(\min g(t) \ge 0\) 조건을 사용합니다.
- \(f(t) \ge a\) 형태이면, \(a \le \min f(t)\) 조건을 사용합니다.
- \(f(t) \le a\) 형태이면, \(a \ge \max f(t)\) 조건을 사용합니다.
- 최대/최소 구하기: 제한된 범위 내에서 이차함수의 최대 또는 최솟값을 축의 위치와 구간 경계값을 이용하여 구합니다.
- \(a\)의 범위 및 최댓값/최솟값 결정: 위에서 구한 조건을 이용하여 \(a\)의 범위를 찾고, 문제에서 요구하는 최댓값 또는 최솟값을 답합니다.
이 문제에서는 \(f(t) \ge a\) 형태이므로, \(f(t)\)의 최솟값을 구하여 \(a \le \min f(t)\) 조건을 사용했습니다.
✅ 최종 정답
③