📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 밑이 2로 동일한 두 로그의 뺄셈 값을 계산하는 문제입니다. 로그의 기본 성질을 이용하여 식을 간단히 하는 전략을 사용합니다.
- 로그 성질 적용: 밑이 같은 로그의 뺄셈은 진수의 나눗셈으로 합칠 수 있는 성질(\( \log_a M – \log_a N = \log_a \frac{M}{N} \))을 이용합니다.
- 진수 계산: 합쳐진 로그의 진수 부분(분수 나눗셈)을 계산합니다.
- 로그 값 계산: 최종적으로 간단해진 로그의 값을 구합니다. 밑과 진수의 관계 (\(a^k = M \iff \log_a M = k\)) 또는 로그의 성질 (\(\log_a a^k = k\))을 이용합니다.
핵심 공식: 로그의 성질
- \(\log_a M – \log_a N = \log_a \frac{M}{N}\) (단, \(a>0, a \ne 1, M>0, N>0\))
- \(\log_a a^k = k\)
- 분수 나눗셈: \(\frac{A}{\frac{B}{C}} = A \div \frac{B}{C} = A \times \frac{C}{B}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 로그 뺄셈 성질 적용
주어진 식은 \( \log_2 12 – \log_2 \frac{3}{2} \) 입니다.
밑이 2로 같으므로 로그의 뺄셈 성질 \( \log_a M – \log_a N = \log_a \frac{M}{N} \) 을 적용합니다.
$$ \log_2 12 – \log_2 \frac{3}{2} = \log_2 \left( \frac{12}{\frac{3}{2}} \right) $$
Step 2: 진수 계산
로그의 진수 부분인 \( \frac{12}{\frac{3}{2}} \) 를 계산합니다.
분수의 나눗셈은 역수의 곱셈으로 바꿀 수 있습니다.
$$ \frac{12}{\frac{3}{2}} = 12 \div \frac{3}{2} = 12 \times \frac{2}{3} $$
계산하면,
$$ = \frac{12 \times 2}{3} = \frac{24}{3} = 8 $$
Step 3: 최종 로그 값 계산
Step 1과 Step 2의 결과로부터 주어진 식은 \( \log_2 8 \) 과 같습니다.
$$ \log_2 12 – \log_2 \frac{3}{2} = \log_2 8 $$
이제 \( \log_2 8 \) 의 값을 구합니다. 8은 2의 세제곱, 즉 \( 8 = 2^3 \) 입니다.
$$ \log_2 8 = \log_2 (2^3) $$
로그의 성질 \( \log_a a^k = k \) 를 이용하면,
$$ \log_2 (2^3) = 3 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 로그의 기본 성질을 이용하여 로그 값을 계산하는 기본적인 문제입니다. 특히 다음 개념을 정확히 이해하는 것이 중요합니다.
- 밑이 같은 로그의 뺄셈: \( \log_a M – \log_a N = \log_a \frac{M}{N} \). 이 성질을 이용하여 여러 개의 로그 항을 하나의 로그 항으로 합칠 수 있습니다.
- 진수 계산: 로그 성질을 적용한 후, 진수 부분을 정확하게 계산해야 합니다. 이 문제에서는 분수의 나눗셈 계산이 필요했습니다.
- 로그의 정의 및 기본 값: \( \log_a M = k \iff a^k = M \) 정의를 이해하고, \( \log_a a = 1 \), \( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a^k = k \) 와 같은 기본 로그 값을 빠르게 계산할 수 있어야 합니다.
로그 계산 문제는 로그의 다양한 성질(덧셈, 뺄셈, 상수배, 밑 변환 등)을 숙지하고 정확하게 적용하는 연습이 필요합니다.
✅ 최종 정답
계산 결과 \( \log_2 12 – \log_2 \frac{3}{2} = 3 \) 입니다.
따라서 정답은 ③번입니다.