📌 문제 이해하기
절댓값 함수 \( f(x) = \left| x^3 – 3x^2 + p \right| \)가 두 지점 \( x = a \), \( x = b \)에서 극대값을 갖고, 두 점에서의 함수값이 같을 때, 미지수 \( p \)의 값을 구하는 문제입니다.
즉, 극대가 두 번 발생하며 \( f(a) = f(b) \) 조건까지 함께 주어진 절댓값 함수 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 절댓값 내부 함수 정의와 도함수 구하기
먼저 절댓값 내부의 다항함수를 다음과 같이 정의합니다.
\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + p, \quad f(x) = |g(x)| \]도함수를 구하면 다음과 같습니다.
\[ g'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) \]따라서 \( g(x) \)의 극값은 \( x = 0 \)과 \( x = 2 \)에서 발생합니다.
[Step 2] 증가·감소표를 통해 극대/극소 판별
함수의 증가·감소를 통해 극값의 성질을 파악하면 다음과 같습니다.
| \( x \) | … | 0 | … | 2 | … |
|---|---|---|---|---|---|
| \( g'(x) \) | + | 0 | − | 0 | + |
| \( g(x) \) | 증가 | 극대 | 감소 | 극소 | 증가 |
따라서 \( g(x) \)는 \( x = 0 \)에서 극대, \( x = 2 \)에서 극소입니다. 하지만 \( f(x) = |g(x)| \)이므로, \( g(x) \)가 음수인 부분은 양수로 뒤집혀 다시 극대가 됩니다.
[Step 3] 극대가 되기 위한 조건 찾기
극대가 두 개가 되려면 다음 조건을 만족해야 합니다.
- \( g(0) = p > 0 \)
- \( g(2) = 8 – 12 + p = -4 + p < 0 \)
이를 정리하면 다음 부등식을 얻습니다.
\[ 0 < p < 4 \][Step 4] \( f(0) = f(2) \) 조건 적용
함수값이 같다는 조건을 사용합니다.
\[ f(0) = |g(0)| = |p| = p \] \[ f(2) = |g(2)| = |p – 4| \Rightarrow p = |p – 4| \]절댓값 방정식을 풀면 두 가지 경우가 나옵니다.
- ① \( p – 4 \ge 0 \Rightarrow p = p – 4 \Rightarrow 0 = -4 \): 모순
- ② \( p – 4 < 0 \Rightarrow p = 4 - p \Rightarrow 2p = 4 \Rightarrow p = 2 \)
즉, \( p = 2 \)이며, 이는 앞에서 찾은 범위 \( 0 < p < 4 \)도 만족합니다.
🎯 최종 정답
\[ \boxed{2} \]📝 마무리 정리
1. 절댓값 함수의 극값
절댓값 함수 \( f(x) = |g(x)| \)의 극값은 다음 경우에서 발생합니다:
- \( g(x) = 0 \)에서 변화
- \( g(x) \)가 극값을 갖는 지점
따라서 \( g(x) \)가 극소인 지점도 절댓값을 씌우면 극대가 될 수 있습니다.
2. 절댓값 방정식 풀이
\( |A| = B \) 형태는 다음처럼 나눠서 풀어야 합니다:
- \( A = B \) 또는 \( A = -B \)
단, 조건에 따라 모순이 생길 수 있으므로 확인이 필요합니다.
3. 도함수를 통한 극값 찾기
함수 \( g(x) \)의 도함수 \( g'(x) \)를 통해 증감표를 작성하면 극값의 위치를 쉽게 알 수 있습니다.