📌 문제 이해하기
등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항이 \(-17\)이고, 공차는 정수입니다.
이 수열의 앞에서부터 \(n\)번째 항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, 다음 조건이 주어졌습니다:
- \(S_7 < 0\)
- \(S_8 > 0\)
이 조건을 만족하는 공차 \(d\)를 찾아 \(a_{11}\)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이
[Step 1] 등차수열의 일반항과 합 공식 정리
등차수열의 합 공식:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n – 1)d\right) \]또는 간단히,
\[ S_n = \frac{n}{2} (a + a_n) \]첫째항 \(a = -17\), 공차 \(d\),
- \(a_7 = a + 6d = -17 + 6d\)
- \(a_8 = a + 7d = -17 + 7d\)
[Step 2] 주어진 조건을 수식으로 바꾸기
\(S_7 = \frac{7}{2} (a + a_7) = \frac{7}{2}(-17 + (-17 + 6d)) = \frac{7}{2}(-34 + 6d)\)
\[ S_7 < 0 \Rightarrow -34 + 6d < 0 \Rightarrow d < \frac{17}{3} \approx 5.67 \]\(S_8 = \frac{8}{2} (a + a_8) = 4(-17 + (-17 + 7d)) = 4(-34 + 7d)\)
\[ S_8 > 0 \Rightarrow -34 + 7d > 0 \Rightarrow d > \frac{34}{7} \approx 4.86 \][Step 3] 두 조건을 동시에 만족하는 정수 \(d\) 찾기
\[ \frac{34}{7} < d < \frac{17}{3} \Rightarrow 4.86 < d < 5.67 \]이 구간에 있는 정수는 5 하나뿐입니다.
[Step 4] \(d = 5\)일 때, \(a_{11}\) 구하기
\[ a_n = a + (n – 1)d \Rightarrow a_{11} = -17 + 10 \cdot 5 = 33 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{33} \]📝 마무리 정리
1. 등차수열의 합 공식
앞에서부터 \(n\)개 항의 합은 다음과 같이 구합니다:
\[ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \quad \text{또는} \quad S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) \]2. 부등식을 통해 정수 범위 찾기
문제에서 \(S_7 < 0\), \(S_8 > 0\)처럼 부등식으로 주어지는 조건은 두 개의 범위를 만족하는 공통 정수 해를 찾는 데 초점이 있습니다.
3. 등차수열의 일반항
항의 값을 직접 구하고 싶을 때는 다음 공식을 기억해 주세요:
\[ a_n = a + (n – 1)d \]이 문제에서는 11번째 항을 구하기 위해 사용했습니다.