📌 문제 이해하기
연속함수 \( f(x) \)에 대하여 다음 조건을 만족합니다.
- (가) \( f(x) = f(x – 3) + 4 \)
- (나) \( \int_0^6 f(x) \, dx = 0 \)
이때, 함수 \( y = f(x) \)의 그래프와 \( x \)-축 및 두 직선 \( x = 6 \), \( x = 9 \)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 함수의 주기성 분석
조건 (가)에 따르면,
\[ f(x) = f(x – 3) + 4 \Rightarrow f(x – 3) = f(x – 6) + 4 \Rightarrow f(x) = f(x – 6) + 8 \]즉, \( f(x) \)는 주기 3을 가지며, 오른쪽으로 3만큼 이동할 때마다 값이 4만큼 증가합니다.
[Step 2] 넓이를 구하기 위한 적분 구간 정리
우리가 구하고자 하는 넓이는 다음 정적분으로 표현됩니다.
\[ \int_6^9 f(x) \, dx \]이를 조건 (가)를 사용하여 치환하면,
\[ \int_6^9 f(x) \, dx = \int_3^6 (f(x) + 4) \, dx = \int_3^6 f(x) \, dx + \int_3^6 4 \, dx = \int_3^6 f(x) \, dx + 12 \][Step 3] \( \int_3^6 f(x) \, dx \) 구하기
조건 (나):
\[ \int_0^6 f(x) \, dx = 0 \]이때 구간을 나누면,
\[ \int_0^6 f(x) \, dx = \int_0^3 f(x) \, dx + \int_3^6 f(x) \, dx = 0 \Rightarrow \int_3^6 f(x) \, dx = – \int_0^3 f(x) \, dx \]그래서
\[ \int_6^9 f(x) \, dx = – \int_0^3 f(x) \, dx + 12 = 12 + \int_3^6 f(x) \, dx = 12 + 6 = 18 \]따라서 넓이는 \( \boxed{18} \)입니다.
🎯 최종 정답
\[ \boxed{18} \]📝 마무리 정리
1. 치환 적분
함수 \( f(x) \)가 일정한 주기를 갖고 변한다면, 치환을 통해 구간을 옮겨 같은 형태의 적분값을 구할 수 있습니다.
2. 넓이와 적분
함수와 x축 사이의 넓이는 절댓값 없이 그냥 적분값이 음수일 수도 있지만, 면적을 구할 때는 절댓값을 사용합니다. 이 문제에서는 결과가 양수로 나왔으므로 그대로 쓰면 됩니다.
3. 주기 함수 + 변형
이 문제는 단순한 주기 함수가 아니라, 주기를 가지면서 함수값이 증가하는 형태입니다. 이런 경우, 주기마다 일정량씩 증가하거나 감소하는 특징을 잘 파악해야 문제를 정확히 풀 수 있습니다.