📌 문제 이해하기
주어진 함수는 다음과 같은 형태입니다.
\[ y = a \cos(b(x – \pi)) + c \]오른쪽 그래프를 통해 함수의 최댓값, 최솟값, 주기 등을 파악하여, 상수 \( a, b, c \)를 구하고, 마지막으로
\[ a + 2b + c \]의 값을 계산하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 최댓값과 최솟값을 이용해 \( a, c \) 구하기
그래프를 보면 함수의 최댓값은 4, 최솟값은 -2입니다.
함수 \( y = a \cos(b(x – \pi)) + c \)에서 최댓값은 \( a + c \), 최솟값은 \( -a + c \)이므로:
\[ \begin{cases} a + c = 4 \\ -a + c = -2 \end{cases} \]위 두 식을 더하고 빼서 풀면,
- 두 식을 더하면: \( 2c = 2 \Rightarrow c = 1 \)
- 위 식에 대입하면: \( a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3 \)
[Step 2] 주기를 이용해 \( b \) 구하기
주어진 함수는 \( y = a \cos(b(x – \pi)) + c \) 형태이므로, 주기는
\[ \frac{2\pi}{b} \]그래프에서 주기가 \( 4\pi \)인 것으로 보이므로,
\[ \frac{2\pi}{b} = 4\pi \Rightarrow b = \frac{1}{2} \][Step 3] 최종값 계산
문제에서 구하라는 값은 \( a + 2b + c \)입니다.
\[ a + 2b + c = 3 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 3 + 1 + 1 = 5 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{5} \]📝 마무리 정리
1. 코사인 함수의 성질
- 기본형: \( y = a \cos(b(x – c)) + d \)
- 최댓값: \( a + d \), 최솟값: \( -a + d \)
- 주기: \( \frac{2\pi}{b} \)
- 그래프가 오른쪽으로 \( c \)만큼 이동됨
2. 그래프 읽는 팁
주기나 최댓값, 최솟값은 눈에 보이는 y축 값과 x축 사이의 간격을 통해 비교합니다. 특히 코사인 함수는 최고점부터 시작하기 때문에 시작점을 잘 잡아야 합니다.