📌 문제 이해하기
곡선 \( y = \log_a x \) 위의 두 점 \( P, Q \)의 x좌표를 각각 \( p, q \)라 할 때,
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \]을 만족한다고 하자.
이때 다음 부등식
\[ \frac{\log_a p}{p} + \frac{\log_a q}{q} \leq 1 \]을 증명하는 과정에서 (가), (나), (다)에 들어갈 값을 찾는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 좌변을 통분하여 정리
\[ \frac{\log_a p}{p} + \frac{\log_a q}{q} = \frac{q \log_a p + p \log_a q}{pq} \]그런데 \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \) 이므로,
\[ pq = p + q \]따라서, 식은 다음과 같이 정리됩니다.
\[ \frac{\log_a p}{p} + \frac{\log_a q}{q} = \frac{q \log_a p + p \log_a q}{p + q} \tag{1} \]→ 따라서 (가): \( p + q \)
[Step 2] 선분 PQ를 \( p : q \)로 내분하는 점 R의 좌표 구하기
\[ x_0 = \frac{pq + qp}{p + q} = \frac{2pq}{p + q} \]그런데 \( pq = p + q \)이므로
\[ x_0 = \frac{2pq}{pq} = 2 \]→ (나): 2
그리고 y좌표는 내분 공식에 따라,
\[ y_0 = \frac{q \log_a p + p \log_a q}{p + q} \tag{2} \][Step 3] 볼록성 이용
곡선 \( y = \log_a x \)는 아래로 볼록한 함수이므로,
\[ y_0 \leq \log_a x_0 \] \[ \frac{q \log_a p + p \log_a q}{p + q} \leq \log_a 2 \]→ (다): \( \log_a 2 \)
🎯 최종 정답
- (가): \( p + q \)
- (나): \( 2 \)
- (다): \( \log_a 2 \)
📝 마무리 정리
- 볼록 함수에서는 내분점의 함수값이 함수의 해당 점보다 작거나 같다
- 로그 함수는 대표적인 볼록 함수이며, 이를 활용해 평균 부등식을 유도할 수 있음
- 함수의 기하적 성질과 대수적 성질을 연결하는 고난도 문제