📌 문제 이해하기
다음과 같은 삼각형에서의 로그 표현식을 계산하는 문제입니다.
- \( \triangle ABC \)에서 \( AB = AC \)인 이등변삼각형
- 다음 값을 구하시오:
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 삼각형의 외접원의 반지름 \( R \) 도입
삼각형의 외접원의 반지름을 \( R \)이라 하면, 다음과 같은 공식이 있습니다:
- \( \sin A = \dfrac{a}{2R} \)
- \( \sin C = \dfrac{c}{2R} \)
또한, \( AB = AC \) 이므로 \( b = c \)입니다.
[Step 2] 코사인 법칙 이용
코사인 법칙에 따라 각 \( B \)에 대한 식은 다음과 같습니다:
\[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} \]그런데 \( b = c \) 이므로:
\[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 – c^2}{2ac} = \frac{a}{2c} \][Step 3] 식을 로그 하나로 묶기
\[ \log_2 \sin A – \log_2 \cos B – \log_2 \sin C = \log_2 \left( \frac{\sin A}{\cos B \cdot \sin C} \right) \]공식들을 대입해 봅니다:
\[ = \log_2 \left( \frac{\frac{a}{2R}}{\frac{a}{2c} \cdot \frac{c}{2R}} \right) \]분모 분자를 정리하면:
\[ = \log_2 \left( \frac{\frac{a}{2R}}{\frac{ac}{4R^2}} \right) = \log_2 \left( \frac{a}{2R} \cdot \frac{4R^2}{ac} \right) = \log_2 \left( \frac{4R}{2c} \right) = \log_2 (2) = 1 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{1} \]📝 마무리 정리
1. 삼각형의 외심과 \( \sin \theta \) 공식
삼각형의 한 각 \( A \)에 대해, 외접원의 반지름 \( R \)을 알면 다음 공식을 쓸 수 있습니다:
\[ \sin A = \frac{a}{2R} \]이는 삼각형의 외접원에서 중심각과 현의 관계를 이용한 공식입니다.
2. 코사인 법칙 복습
삼각형의 변 길이를 알고 각을 구할 때, 코사인 법칙은 다음과 같습니다:
\[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} \]특히 이 문제처럼 \( b = c \)일 경우에는 식이 매우 간단해집니다.
3. 로그의 뺄셈은 나눗셈
로그의 중요한 성질 중 하나는:
\[ \log_a \frac{M}{N} = \log_a M – \log_a N \]이 문제에서도 세 로그를 하나의 분수식으로 정리할 수 있었습니다.
—이 문제는 삼각형의 기하학적 성질과 로그의 계산 공식을 잘 활용하는지를 묻는 문제입니다.
그림이 있으면 더 좋지만, 공식을 정확히 이해하고 적용하면 계산이 수월합니다.