📘 문제 이해 및 풀이 전략
문제는 중앙의 정사각형 1개와 그 변에 붙어 있는 정삼각형 4개, 총 5개의 구역으로 이루어진 도형을 서로 다른 5개의 색을 모두 사용하여 칠하는 경우의 수를 구하는 것입니다. 단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 봅니다.
이 문제는 원순열(Circular Permutation) 개념을 응용한 색칠 문제입니다. 회전하여 일치하는 것을 같은 것으로 본다는 조건 때문에 원순열을 적용해야 합니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 기준점 설정 (가운데 영역): 회전 대칭성을 깨기 위해, 회전해도 위치가 변하지 않는 가장 중심적인 부분(가운데 정사각형)을 먼저 칠합니다.
- 가운데 영역 색칠: 사용할 수 있는 5가지 색 중 하나를 선택하여 가운데 정사각형을 칠하는 경우의 수를 구합니다.
- 주변 영역 색칠 (원순열 적용): 가운데를 칠한 후, 남은 4가지 색으로 주변의 4개 삼각형을 칠합니다. 이때 주변 삼각형들은 회전하면 서로 자리가 바뀌므로, 이 부분에 원순열을 적용합니다.
- 총 경우의 수 계산: 가운데 영역을 칠하는 경우의 수와 주변 영역을 칠하는 경우의 수를 곱하여 최종 답을 구합니다 (곱의 법칙).
관련 공식:
- 조합: 서로 다른 \(n\)개에서 \(r\)개를 순서 없이 뽑는 경우의 수 \(_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
- 순열: 서로 다른 \(n\)개에서 \(r\)개를 뽑아 순서대로 나열하는 경우의 수 \(_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\)
- 원순열: 서로 다른 \(n\)개를 원형으로 배열하는 경우의 수 \((n-1)! = \frac{n!}{n}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 가운데 정사각형 영역 색칠하기
가장 먼저, 회전의 영향을 받지 않는 가운데 정사각형 영역에 칠할 색을 선택합니다.
서로 다른 5개의 색 중에서 1개를 선택하는 경우의 수입니다.
$$ _{5}C_{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5}{1} = 5 \text{ 가지} $$
따라서 가운데 정사각형을 칠하는 방법은 5가지입니다.
Step 2: 주변 정삼각형 영역 색칠하기 (원순열)
가운데 정사각형을 칠하고 나면 4개의 색이 남고, 칠해야 할 주변 정삼각형 영역도 4개입니다.
이 4개의 정삼각형 영역은 가운데 정사각형을 중심으로 회전하면 서로 같은 배치가 됩니다. 따라서 남은 4개의 색을 4개의 삼각형 영역에 칠하는 것은 원순열로 생각할 수 있습니다.
서로 다른 4개의 색을 원형으로 배열하는 경우의 수는:
$$ (4 – 1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ 가지} $$
또는, 직선으로 배열하는 경우의 수(\(4!\))를 회전하여 같은 경우가 나오는 수(4)로 나누어 계산할 수도 있습니다.
$$ \frac{4!}{4} = \frac{24}{4} = 6 \text{ 가지} $$
따라서 주변 4개의 정삼각형을 칠하는 방법은 6가지입니다.
Step 3: 총 경우의 수 계산
가운데 정사각형을 칠하는 경우의 수와 주변 정삼각형들을 칠하는 경우의 수는 동시에 일어나므로, 곱의 법칙을 적용하여 총 경우의 수를 계산합니다.
$$ (\text{가운데 칠하는 경우의 수}) \times (\text{주변 칠하는 경우의 수}) $$
$$ = 5 \times 6 = 30 \text{ 가지} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 회전 대칭성을 가진 도형의 영역을 색칠하는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 핵심 해결 전략은 다음과 같습니다.
- 대칭성 파악: 문제에서 “회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다”는 조건은 원순열 개념의 적용을 암시합니다.
- 기준점 설정: 회전의 영향을 받지 않거나, 기준이 될 수 있는 부분을 먼저 결정(색칠)하여 문제를 단순화합니다. 이 문제에서는 가운데 정사각형이 기준점 역할을 합니다.
- 원순열 적용: 기준점을 제외한 나머지 대칭적인 부분(주변 삼각형들)에 대해서는 원순열 공식을 적용하여 경우의 수를 계산합니다.
- 곱의 법칙: 각 단계별 경우의 수를 곱하여 전체 경우의 수를 구합니다.
이와 유사한 입체 도형 색칠 문제 등에서도 회전 대칭성을 고려하여 기준 면을 먼저 칠하고 나머지 면에 원순열 또는 염주순열 개념을 적용하는 방식으로 해결할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
총 경우의 수는 30가지 입니다.
따라서 정답은 ③ 30 입니다.