📘 문제 이해 및 풀이 전략
구간 [0, 2]에서 정의된 연속확률변수 \(X\)와 \(Y\)가 있습니다. \(X\)의 확률밀도함수(PDF)는 \(f(x)\)이고, \(Y\)의 확률밀도함수는 \(g(x) = \frac{1}{2}f(x) + k\)입니다. 상수 \(k\)의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제는 확률밀도함수의 기본 성질을 이용합니다. 확률밀도함수는 정의된 구간에서 적분하면 그 값이 항상 1이 되어야 합니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- \(X\)의 PDF 성질 적용: \(f(x)\)는 구간 [0, 2]에서 정의된 PDF이므로, \(\int_{0}^{2} f(x) dx = 1\) 임을 이용합니다.
- \(Y\)의 PDF 성질 적용: \(g(x) = \frac{1}{2}f(x) + k\) 역시 구간 [0, 2]에서 정의된 PDF이므로, \(\int_{0}^{2} g(x) dx = 1\) 이어야 합니다.
- 적분 계산 및 방정식 풀이: \(g(x)\)의 적분 식에 \(g(x) = \frac{1}{2}f(x) + k\)를 대입하고 적분의 선형성을 이용하여 계산합니다. 이때 \(\int_{0}^{2} f(x) dx = 1\) 임을 활용하여 \(k\)에 대한 방정식을 세우고 풀어 \(k\) 값을 구합니다.
확률밀도함수(PDF)의 성질:
확률변수 \(X\)가 구간 \([a, b]\)에서 정의되고 PDF가 \(p(x)\)일 때, 다음 성질을 만족합니다.
- 모든 \(x\)에 대해 \(p(x) \ge 0\)
- \(\int_{a}^{b} p(x) dx = 1\) (정의된 구간에서의 총 넓이는 1)
정적분의 성질 (선형성):
- \(\int (cf(x) + dg(x)) dx = c \int f(x) dx + d \int g(x) dx\) (c, d는 상수)
- \(\int_{a}^{b} c dx = c(b-a)\) (c는 상수)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(f(x)\)의 적분 값 확인
\(f(x)\)는 확률변수 \(X\)의 확률밀도함수이고 구간 [0, 2]에서 정의되었으므로, 확률밀도함수의 성질에 따라 다음이 성립합니다.
$$ \int_{0}^{2} f(x) dx = 1 $$
Step 2: \(g(x)\)의 적분 값 조건 적용
\(g(x) = \frac{1}{2}f(x) + k\)는 확률변수 \(Y\)의 확률밀도함수이고 구간 [0, 2]에서 정의되었으므로, 마찬가지로 다음이 성립합니다.
$$ \int_{0}^{2} g(x) dx = 1 $$
\(g(x)\)의 정의를 대입합니다.
$$ \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2}f(x) + k \right) dx = 1 $$
Step 3: 적분 계산 및 \(k\)에 대한 방정식 세우기
적분의 선형성을 이용하여 좌변의 적분을 분리합니다.
$$ \int_{0}^{2} \frac{1}{2}f(x) dx + \int_{0}^{2} k dx = 1 $$
$$ \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{0}^{2} k dx = 1 $$
Step 1에서 \(\int_{0}^{2} f(x) dx = 1\)임을 알고 있으므로 이를 대입합니다.
$$ \frac{1}{2} (1) + \int_{0}^{2} k dx = 1 $$
상수 \(k\)를 0부터 2까지 적분하면:
$$ \int_{0}^{2} k dx = [kx]_{0}^{2} = (k \times 2) – (k \times 0) = 2k $$
따라서 방정식은 다음과 같이 됩니다.
$$ \frac{1}{2} + 2k = 1 $$
Step 4: \(k\) 값 구하기
방정식 \(\frac{1}{2} + 2k = 1\)을 \(k\)에 대해 풉니다.
$$ 2k = 1 – \frac{1}{2} $$
$$ 2k = \frac{1}{2} $$
양변을 2로 나눕니다.
$$ k = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 연속확률변수의 확률밀도함수(PDF)가 만족해야 하는 가장 기본적인 성질, 즉 정의된 구간에서의 총 적분 값이 1이어야 한다는 것을 이용합니다. 핵심 포인트는 다음과 같습니다.
- PDF의 기본 성질: \(\int_{-\infty}^{\infty} p(x) dx = 1\) (또는 정의된 유한 구간 \([a, b]\)에서 \(\int_{a}^{b} p(x) dx = 1\)). 이는 확률의 총합이 1이라는 개념과 동일합니다.
- 적분의 선형성: \(\int (c_1 f(x) + c_2 g(x)) dx = c_1 \int f(x) dx + c_2 \int g(x) dx\) 성질을 이용하여 복잡한 함수의 적분을 분리하여 계산할 수 있습니다.
- 미지의 함수 정보 활용: 비록 \(f(x)\)의 구체적인 형태는 모르지만, 그것이 PDF라는 사실로부터 \(\int_{0}^{2} f(x) dx = 1\)이라는 정보를 얻어내고 이를 활용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
상수 \(k\)의 값은 \(\frac{1}{4}\)입니다.
따라서 정답은 ④ 입니다.