📘 문제 이해 및 풀이 전략
어느 공장에서 생산되는 운동화 한 켤레의 무게는 평균 206.5g, 표준편차 2g인 정규분포를 따른다고 합니다. 이 공장에서 생산되는 운동화 한 켤레의 무게가 205.5g 이상이고 \(a\)g 이하일 확률이 0.6247일 때, 상수 \(a\)의 값을 주어진 표준정규분포표를 이용하여 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 정규분포 설정: 운동화 무게를 확률변수 \(X\)라 하고, \(X\)가 따르는 정규분포 \(N(206.5, 2^2)\)를 명시합니다.
- 표준화: 확률을 계산하기 위해 확률변수 \(X\)를 표준정규분포를 따르는 확률변수 \(Z\)로 표준화합니다. \(Z = \frac{X – \mu}{\sigma}\) 공식을 사용합니다.
- 확률 식 변환: 주어진 확률 \(P(205.5 \le X \le a) = 0.6247\)을 \(Z\)에 대한 확률 식으로 변환합니다.
- 표준정규분포표 활용: 변환된 \(Z\)에 대한 확률 식을 표준정규분포의 대칭성과 표를 이용하여 \(a\) 값을 포함하는 \(Z\)값(z-score)을 찾습니다.
- 방정식 풀이: \(Z\)값과 \(a\) 사이의 관계식을 이용하여 \(a\) 값을 구합니다.
관련 공식:
- 정규분포 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)
- 표준화: \(Z = \frac{X – \mu}{\sigma}\), 여기서 \(Z \sim N(0, 1)\)
- 표준정규분포의 성질:
- \(P(Z \le 0) = P(Z \ge 0) = 0.5\)
- \(P(-z \le Z \le 0) = P(0 \le Z \le z)\) (대칭성)
- \(P(a \le Z \le b) = P(0 \le Z \le b) – P(0 \le Z \le a)\) (단, \(0 < a < b\))
- \(P(-a \le Z \le b) = P(-a \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le b) = P(0 \le Z \le a) + P(0 \le Z \le b)\) (단, \(a, b > 0\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 확률변수 정의 및 표준화
운동화 한 켤레의 무게를 확률변수 \(X\)라고 하면, \(X\)는 정규분포 \(N(206.5, 2^2)\)를 따릅니다. 즉, \(\mu = 206.5\), \(\sigma = 2\) 입니다.
\(X\)를 표준화하여 표준정규분포를 따르는 확률변수 \(Z\)로 변환합니다.
$$ Z = \frac{X – 206.5}{2} $$
\(Z\)는 표준정규분포 \(N(0, 1)\)을 따릅니다.
Step 2: 주어진 확률을 \(Z\)에 대한 확률로 변환
문제에서 \(P(205.5 \le X \le a) = 0.6247\) 이라고 주어졌습니다.
\(X\)의 값들을 \(Z\) 값으로 표준화합니다.
- \(X = 205.5\) 일 때: \(Z = \frac{205.5 – 206.5}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5\)
- \(X = a\) 일 때: \(Z = \frac{a – 206.5}{2}\) (이 값을 \(z_a\) 라고 둡시다)
따라서 주어진 확률은 다음과 같이 변환됩니다.
$$ P\left( -0.5 \le Z \le \frac{a – 206.5}{2} \right) = 0.6247 $$
Step 3: 표준정규분포표를 이용하여 확률 분해
확률 \(P(-0.5 \le Z \le z_a)\)를 \(Z=0\)을 기준으로 두 부분으로 나눌 수 있습니다.
$$ P(-0.5 \le Z \le z_a) = P(-0.5 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le z_a) $$
표준정규분포는 \(Z=0\)에 대해 대칭이므로, \(P(-0.5 \le Z \le 0) = P(0 \le Z \le 0.5)\) 입니다.
주어진 표에서 \(z=0.5\)일 때 \(P(0 \le Z \le 0.5) = 0.1915\) 입니다.
따라서,
$$ 0.1915 + P(0 \le Z \le z_a) = 0.6247 $$
Step 4: \(z_a\) 값 찾기
위 식에서 \(P(0 \le Z \le z_a)\)를 계산합니다.
$$ P(0 \le Z \le z_a) = 0.6247 – 0.1915 = 0.4332 $$
이제 주어진 표준정규분포표에서 \(P(0 \le Z \le z)\) 값이 0.4332가 되는 \(z\) 값을 찾습니다.
표에서 \(z = 1.5\) 일 때 \(P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\) 입니다.
따라서 \(z_a = \frac{a – 206.5}{2} = 1.5\) 입니다.
Step 5: \(a\) 값 구하기
방정식 \(\frac{a – 206.5}{2} = 1.5\) 를 \(a\)에 대해 풉니다.
양변에 2를 곱합니다.
$$ a – 206.5 = 1.5 \times 2 = 3 $$
\(a\)에 대해 정리합니다.
$$ a = 3 + 206.5 = 209.5 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 정규분포를 따르는 확률변수에 대한 확률 계산 문제입니다. 특히, 주어진 확률 값을 이용하여 특정 경계값(\(a\))을 찾는 과정이 포함됩니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정규분포와 표준화: 평균 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\)인 정규분포 \(N(\mu, \sigma^2)\)를 따르는 확률변수 \(X\)를 표준화 공식 \(Z = (X-\mu)/\sigma\)를 통해 표준정규분포 \(N(0, 1)\)를 따르는 \(Z\)로 변환할 수 있습니다. 이를 통해 표준정규분포표를 이용한 확률 계산이 가능해집니다.
- 표준정규분포표 읽기: 표준정규분포표는 일반적으로 \(P(0 \le Z \le z)\) 또는 \(P(Z \le z)\) 형태의 확률 값을 제공합니다. 문제의 확률 구간(\(P(a \le Z \le b)\))을 표의 형태에 맞게 대칭성 등의 성질을 이용하여 변환하고, 표에서 해당 확률 값에 대응하는 \(z\)값을 찾는 능력이 중요합니다.
- 역산 과정: 일반적인 확률 계산 문제와 반대로, 확률 값이 주어지고 그 확률에 해당하는 변수 값 또는 \(z\)값을 찾는 과정이 필요할 수 있습니다. 이 경우, 표에서 주어진 확률 값에 가장 가까운 값을 찾아 해당 \(z\)값을 사용합니다.
✅ 최종 정답
\(a = 209.5\)
따라서 정답은 ④ 209.5 입니다.