📘 문제 이해 및 풀이 전략
어느 쇼핑몰에서 하루에 판매되는 상품 개수는 평균이 \(m\), 표준편차가 15인 정규분포를 따른다고 합니다. 25일간의 상품 판매량을 조사하여 얻은 하루 평균 판매 개수(\(\bar{x}\))가 432개였습니다. 이 결과를 이용하여 모평균 \(m\)에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간 \(\alpha \le m \le \beta\)를 구하고, 이 구간에 속하는 자연수 \(m\)의 개수를 찾는 문제입니다.
모표준편차(\(\sigma\))가 알려져 있고 표본 크기(\(n\))가 주어진 경우, 모평균 \(m\)에 대한 신뢰구간은 다음과 같이 구합니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 신뢰구간 공식 확인: 모표준편차 \(\sigma\)를 알 때, 모평균 \(m\)의 신뢰도 \((100(1-\alpha))\)% 신뢰구간 공식은 \(\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) 입니다.
- 주어진 값 정리: 문제에서 주어진 표본평균 \(\bar{x}\), 모표준편차 \(\sigma\), 표본 크기 \(n\), 신뢰도에 해당하는 \(z\)값을 정리합니다.
- 신뢰도 99%에 해당하는 \(z\)값 찾기: 주어진 표준정규분포 정보를 이용하여 신뢰도 99%에 해당하는 \(z_{\alpha/2}\) 값을 찾습니다. \(P(0 \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0.99 / 2 = 0.495\)가 되는 \(z_{\alpha/2}\) 값을 사용합니다.
- 신뢰구간 계산: 공식에 값을 대입하여 신뢰구간의 하한(\(\alpha\))과 상한(\(\beta\))을 계산합니다.
- 자연수 개수 세기: 계산된 신뢰구간 \([\alpha, \beta]\)에 포함되는 자연수의 개수를 셉니다.
모평균의 신뢰구간 (모표준편차 \(\sigma\)를 알 때):
신뢰도 \(100(1-\alpha)\)% 일 때, 신뢰구간은
$$ \left[ \bar{x} – z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] $$
여기서 \(\bar{x}\)는 표본평균, \(\sigma\)는 모표준편차, \(n\)은 표본 크기, \(z_{\alpha/2}\)는 \(P(Z > z_{\alpha/2}) = \alpha/2\) (또는 \(P(0 \le Z \le z_{\alpha/2}) = (1-\alpha)/2\))를 만족하는 표준정규분포의 값입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 값 정리 및 \(z\)값 확인
- 표본평균: \(\bar{x} = 432\)
- 모표준편차: \(\sigma = 15\)
- 표본 크기: \(n = 25\)
- 신뢰도: 99%
신뢰도 99%에 해당하는 \(z_{\alpha/2}\) 값을 찾습니다. 99% 신뢰수준은 가운데 영역의 넓이가 0.99임을 의미합니다. 따라서 표준정규분포에서 \(P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0.99\) 입니다.
이는 \(P(0 \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0.99 / 2 = 0.495\) 를 의미합니다.
문제에서 \(P(0 \le Z \le 2.58) = 0.4950\)으로 주어졌으므로, 신뢰도 99%에 해당하는 \(z_{\alpha/2}\) 값은 2.58 입니다.
Step 2: 표준오차 및 오차 한계 계산
표준오차(Standard Error, SE)는 \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) 입니다.
$$ SE = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3 $$
오차 한계(Margin of Error, ME)는 \(z_{\alpha/2} \times SE\) 입니다.
$$ ME = 2.58 \times 3 = 7.74 $$
Step 3: 신뢰구간 계산
신뢰구간은 \(\bar{x} \pm ME\) 입니다.
하한(\(\alpha\)):
$$ \alpha = \bar{x} – ME = 432 – 7.74 = 424.26 $$
상한(\(\beta\)):
$$ \beta = \bar{x} + ME = 432 + 7.74 = 439.74 $$
따라서 모평균 \(m\)에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은 \([424.26, 439.74]\) 입니다.
Step 4: 신뢰구간에 속하는 자연수 개수 세기
신뢰구간 \(424.26 \le m \le 439.74\) 에 속하는 자연수 \(m\)을 찾습니다.
이 구간에 속하는 가장 작은 자연수는 425이고, 가장 큰 자연수는 439입니다.
따라서 해당 자연수는 \(425, 426, \dots, 439\) 입니다.
이 자연수의 개수는:
$$ (\text{마지막 수}) – (\text{첫 수}) + 1 = 439 – 425 + 1 = 14 + 1 = 15 \text{ 개} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 표본 데이터를 이용하여 모집단의 평균(모평균)을 추정하는 통계적 추론 문제입니다. 특히, 신뢰구간의 개념과 계산 방법을 이해하는 것이 중요합니다.
- 모평균 추정: 표본평균(\(\bar{x}\))을 이용하여 모평균(\(m\))을 점 추정하거나 구간 추정합니다. 신뢰구간은 모평균이 존재할 것으로 믿는 구간을 확률적으로 제시하는 방법입니다.
- 신뢰구간 공식 (\(\sigma\) 알려진 경우): \(\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\). 이 공식의 각 요소(표본평균, 신뢰수준에 따른 z값, 모표준편차, 표본 크기)를 정확히 이해하고 적용해야 합니다.
- 표준오차(\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)): 표본평균의 표준편차를 의미하며, 표본 크기가 커질수록 작아집니다.
- 오차 한계(\(z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)): 신뢰구간의 절반 길이를 나타내며, 표본평균과 모평균의 차이의 한계를 의미합니다.
- 신뢰수준과 \(z\)값: 신뢰수준(예: 95%, 99%)에 따라 사용하는 \(z_{\alpha/2}\) 값이 달라집니다. 99% 신뢰수준에서는 \(z_{0.005} \approx 2.58\)을 사용합니다. 문제에서 \(P(0 \le Z \le z)\) 형태로 주어지면, 신뢰수준의 절반에 해당하는 확률 값 (\(0.99/2 = 0.495\))을 이용하여 해당 \(z\)값을 찾아야 합니다.
✅ 최종 정답
신뢰구간 \([424.26, 439.74]\)에 속하는 자연수 \(m\)의 개수는 15개입니다.
따라서 정답은 ① 15 입니다.