📘 문제 이해 및 풀이 전략
어느 양계장에서 생산되는 달걀 한 개의 무게는 평균 54g, 표준편차 3g인 정규분포를 따른다고 합니다. 이 양계장에서 생산된 달걀 중 임의추출한 4개의 달걀 무게의 표본평균(\(\bar{X}\))이 52.5g 이하일 확률을 주어진 표준정규분포표를 이용하여 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 모집단 분포 확인: 달걀 한 개 무게(\(X\))의 분포 \(N(54, 3^2)\)를 확인합니다.
- 표본평균의 분포 찾기: 크기 \(n=4\)인 표본의 표본평균 \(\bar{X}\)가 따르는 분포를 찾습니다. 정규분포를 따르는 모집단에서 추출한 표본평균은 정규분포를 따르며, 평균은 모평균과 같고 표준편차는 \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)입니다.
- 표준화: 표본평균 \(\bar{X}\)를 표준정규분포를 따르는 확률변수 \(Z\)로 표준화합니다. \(Z = \frac{\bar{X} – E(\bar{X})}{\sigma_{\bar{X}}}\) 공식을 사용합니다.
- 확률 계산: 표준화된 변수 \(Z\)에 대한 확률 \(P(Z \le z)\)를 표준정규분포표와 대칭성 등 성질을 이용하여 계산합니다.
관련 공식:
- 모집단 분포: \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)
- 표본평균(\(\bar{X}\))의 분포 (모집단이 정규분포일 때): \(\bar{X} \sim N\left(\mu, \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2\right)\)
- \(E(\bar{X}) = \mu\)
- \(V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}\)
- 표준편차(표준오차): \(\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
- 표준화: \(Z = \frac{\bar{X} – \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\), 여기서 \(Z \sim N(0, 1)\)
- 표준정규분포의 성질: \(P(Z \le -z) = P(Z \ge z) = 0.5 – P(0 \le Z \le z)\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 모집단 및 표본평균의 분포 정의
달걀 한 개의 무게를 확률변수 \(X\)라고 하면, \(X\)는 정규분포 \(N(54, 3^2)\)를 따릅니다. (\(\mu=54, \sigma=3\))
크기가 \(n=4\)인 표본의 표본평균을 \(\bar{X}\)라고 하면, \(\bar{X}\)도 정규분포를 따릅니다.
- 표본평균의 평균: \(E(\bar{X}) = \mu = 54\)
- 표본평균의 표준편차(표준오차): \(\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} = 1.5\)
따라서 \(\bar{X}\)는 정규분포 \(N(54, (1.5)^2)\)을 따릅니다.
Step 2: 구하고자 하는 확률 표준화하기
우리가 구하려는 확률은 표본평균 \(\bar{X}\)가 52.5g 이하일 확률, 즉 \(P(\bar{X} \le 52.5)\) 입니다.
\(\bar{X}\)를 표준정규분포 변수 \(Z\)로 표준화합니다.
$$ P(\bar{X} \le 52.5) = P\left( \frac{\bar{X} – E(\bar{X})}{\sigma_{\bar{X}}} \le \frac{52.5 – 54}{1.5} \right) $$
우변의 값을 계산합니다.
$$ \frac{52.5 – 54}{1.5} = \frac{-1.5}{1.5} = -1.0 $$
따라서 구하는 확률은 \(P(Z \le -1.0)\) 입니다.
Step 3: 표준정규분포표를 이용하여 확률 계산
확률 \(P(Z \le -1.0)\)를 계산합니다.
표준정규분포는 \(Z=0\)에 대해 대칭이므로,
$$ P(Z \le -1.0) = P(Z \ge 1.0) $$
전체 확률에서 \(Z < 1.0\) 부분을 빼거나, 오른쪽 절반(0.5)에서 \(0 \le Z < 1.0\) 부분을 빼서 계산할 수 있습니다.
$$ P(Z \ge 1.0) = P(Z \ge 0) – P(0 \le Z < 1.0) $$
여기서 \(P(Z \ge 0) = 0.5\) 입니다.
주어진 표준정규분포표에서 \(z=1.0\)일 때 \(P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413\) 입니다.
따라서,
$$ P(Z \le -1.0) = 0.5 – P(0 \le Z \le 1.0) = 0.5 – 0.3413 = 0.1587 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 표본평균의 분포에 대한 이해를 바탕으로 정규분포 확률을 계산하는 문제입니다.
- 표본평균의 분포: 모집단이 정규분포 \(N(\mu, \sigma^2)\)를 따르면, 크기 \(n\)인 표본의 표본평균 \(\bar{X}\)는 정확히 정규분포 \(N(\mu, \sigma^2/n)\)를 따릅니다. (모집단이 정규분포가 아니더라도 중심극한정리에 의해 \(n\)이 충분히 크면 \(\bar{X}\)는 근사적으로 정규분포를 따릅니다.)
- 표본평균의 표준화: 표본평균 \(\bar{X}\)를 표준화할 때는 모평균 \(\mu\)와 표본평균의 표준편차(표준오차) \(\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n}\)를 사용합니다: \(Z = \frac{\bar{X} – \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\).
- 표준정규분포 활용: 표준화된 \(Z\) 값에 대한 확률은 표준정규분포표와 대칭성 등 성질을 이용하여 계산합니다. \(P(Z \le -z)\)와 같은 음수 영역의 확률은 대칭성을 이용하여 양수 영역의 확률로 변환(\(P(Z \ge z)\))한 후 계산하는 것이 일반적입니다.
✅ 최종 정답
표본평균이 52.5g 이하일 확률은 0.1587입니다.
따라서 정답은 ③ 0.1587 입니다.