📘 문제 이해 및 풀이 전략
A, B, B, C, C, C가 적힌 6장의 카드 중에서 5장을 택하여 일렬로 나열할 때, C 카드가 왼쪽에서 두 번째 위치에 놓이도록 하는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 같은 문자가 적힌 카드끼리는 구분하지 않습니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 위치 고정: 먼저 왼쪽에서 두 번째 위치에 C 카드를 고정합니다.
- 남은 카드와 자리 확인: 두 번째 자리에 C 하나를 사용했으므로, 남은 5장의 카드(A, B, B, C, C) 중에서 4장을 선택하여 남은 4개의 자리(첫 번째, 세 번째, 네 번째, 다섯 번째)에 배열해야 합니다.
- 경우 나누기 (선택되는 4장의 카드 기준): 남은 5장의 카드(A, B, B, C, C) 중에서 4장을 선택하는 것은, 반대로 1장을 선택하지 않는 것과 같습니다. 어떤 카드를 선택하지 않느냐에 따라 3가지 경우로 나눌 수 있습니다.
- A를 제외하고 {B, B, C, C} 4장을 선택하는 경우
- B를 제외하고 {A, B, C, C} 4장을 선택하는 경우
- C를 제외하고 {A, B, B, C} 4장을 선택하는 경우
- 각 경우별 순열 계산: 각 경우에서 선택된 4장의 카드를 남은 4개의 자리에 배열하는 경우의 수를 같은 것이 있는 순열 공식을 이용하여 계산합니다.
- 총 경우의 수 계산: 각 경우에서 계산된 경우의 수를 모두 더합니다.
같은 것이 있는 순열:
\(n\)개의 대상 중 같은 것이 각각 \(p\)개, \(q\)개, …, \(r\)개 있을 때, 이들을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 \(\frac{n!}{p!q!…r!}\) (단, \(p+q+…+r=n\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 두 번째 자리에 C 카드 고정
5개의 자리가 있고, 두 번째 자리는 C로 고정됩니다: `_ C _ _ _`
사용한 C 카드를 제외하면, 원래 카드 셋(A, B, B, C, C, C)에서 남은 카드는 {A, B, B, C, C} 5장입니다.
이제 남은 4개의 자리(1, 3, 4, 5번째)에 이 5장의 카드 중에서 4장을 뽑아 배열해야 합니다.
Step 2: 경우 나누기 및 각 경우별 배열 수 계산
남은 5장의 카드 {A, B, B, C, C} 중 4장을 선택하여 남은 4자리에 배열하는 경우를, 제외되는 카드 1장을 기준으로 나눕니다.
경우 (i): 카드 ‘A’를 제외하는 경우
- 선택된 4장의 카드: {B, B, C, C}
- 이 4장의 카드를 남은 4자리에 배열하는 경우의 수 (B 2개, C 2개):
- $$ \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{2 \times 2} = \frac{24}{4} = 6 \text{ 가지} $$
경우 (ii): 카드 ‘B’를 제외하는 경우
- 선택된 4장의 카드: {A, B, C, C}
- 이 4장의 카드를 남은 4자리에 배열하는 경우의 수 (C 2개):
- $$ \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \text{ 가지} $$
경우 (iii): 카드 ‘C’를 제외하는 경우
- 선택된 4장의 카드: {A, B, B, C}
- 이 4장의 카드를 남은 4자리에 배열하는 경우의 수 (B 2개):
- $$ \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \text{ 가지} $$
Step 3: 총 경우의 수 계산
위 세 경우는 서로 배타적이므로, 각 경우의 수를 모두 더하여 최종 경우의 수를 구합니다.
$$ \text{총 경우의 수} = (\text{경우 i}) + (\text{경우 ii}) + (\text{경우 iii}) $$
$$ = 6 + 12 + 12 = 30 \text{ 가지} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 특정 위치가 고정된 상태에서, 제한된 개수의 카드 중 일부를 선택하여 배열하는 같은 것이 있는 순열 문제입니다. 핵심 해결 과정은 다음과 같습니다.
- 조건 분석 및 단순화: 특정 위치(두 번째 자리)에 특정 카드(C)가 오는 조건을 먼저 적용하여 문제를 단순화합니다. 남은 카드와 남은 자리를 명확히 합니다.
- 선택과 배열의 결합: 남은 카드 풀에서 배열할 카드를 선택하는 과정이 필요합니다. 이 문제에서는 전체 남은 카드 수(5)와 배열할 자리 수(4)가 다르므로, 어떤 카드를 사용할지 결정하는 단계가 포함됩니다. 이를 “사용하지 않을 카드”를 기준으로 경우를 나누어 해결했습니다.
- 같은 것이 있는 순열 공식 적용: 각 경우에서 선택된 카드들을 배열할 때, 동일한 문자가 여러 개 포함되어 있으므로 같은 것이 있는 순열 공식을 사용하여 정확한 경우의 수를 계산합니다.
- 합의 법칙: 나누어진 각 경우들은 서로 동시에 일어날 수 없으므로(배타적), 각 경우의 결과를 더하여 전체 경우의 수를 구합니다.
✅ 최종 정답
총 경우의 수는 30가지 입니다.
따라서 정답은 ④ 30 입니다.