📘 문제 이해 및 풀이 전략
두 사건 \(A, B\)에 대하여 \(P(A^C \cup B) = \frac{3}{4}\)이고 \(P(A \cap B) = \frac{1}{5}\)일 때, \(P(A)\)의 값을 구하는 문제입니다. (단, \(A^C\)는 \(A\)의 여사건입니다.)
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 여사건과 드 모르간 법칙 활용: 주어진 \(P(A^C \cup B)\)를 이용하여 \(P(A \cap B^C)\)를 구합니다. 이는 \(P(E^C) = 1 – P(E)\) 와 드 모르간 법칙 \((X \cup Y)^C = X^C \cap Y^C\)을 이용합니다. 구체적으로, \((A^C \cup B)^C = (A^C)^C \cap B^C = A \cap B^C\) 임을 이용합니다.
- 확률의 덧셈정리 (분할 이용): 사건 \(A\)는 서로 배반인 두 사건, 즉 \(A\)가 일어나고 \(B\)도 일어나는 사건(\(A \cap B\))과 \(A\)가 일어나고 \(B\)는 일어나지 않는 사건(\(A \cap B^C\))의 합집합으로 표현될 수 있습니다. 즉, \(A = (A \cap B) \cup (A \cap B^C)\) 입니다. 따라서 \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^C)\)가 성립합니다.
- 값 대입 및 계산: 위에서 구한 \(P(A \cap B^C)\)와 주어진 \(P(A \cap B)\) 값을 이용하여 \(P(A)\)를 계산합니다.
관련 공식:
- 여사건의 확률: \(P(E^C) = 1 – P(E)\)
- 드 모르간의 법칙: \((X \cup Y)^C = X^C \cap Y^C\), \((X \cap Y)^C = X^C \cup Y^C\)
- 확률의 덧셈정리 (분할): 사건 \(A\)의 분할 \(A = (A \cap B) \cup (A \cap B^C)\) 에 대해, \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^C)\) (단, \(A \cap B\)와 \(A \cap B^C\)는 서로 배반)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(P(A \cap B^C)\) 구하기
주어진 조건 \(P(A^C \cup B) = \frac{3}{4}\) 을 이용합니다.
이 사건의 여사건의 확률을 구합니다.
$$ P((A^C \cup B)^C) = 1 – P(A^C \cup B) = 1 – \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $$
드 모르간의 법칙 \((X \cup Y)^C = X^C \cap Y^C\)를 적용하면,
$$ (A^C \cup B)^C = (A^C)^C \cap B^C = A \cap B^C $$
따라서,
$$ P(A \cap B^C) = P((A^C \cup B)^C) = \frac{1}{4} $$
(해설 이미지의 첫 번째 줄 내용입니다.)
Step 2: \(P(A)\) 계산하기
사건 \(A\)는 \(A \cap B\) (A와 B가 동시에 일어남) 와 \(A \cap B^C\) (A는 일어나고 B는 일어나지 않음)의 합집합이며, 이 두 사건은 서로 배반입니다.
따라서 확률은 다음과 같이 계산됩니다.
$$ P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^C) $$
주어진 값 \(P(A \cap B) = \frac{1}{5}\)과 Step 1에서 구한 \(P(A \cap B^C) = \frac{1}{4}\)를 대입합니다.
$$ P(A) = \frac{1}{5} + \frac{1}{4} $$
통분하여 계산합니다.
$$ P(A) = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{9}{20} $$
(해설 이미지의 두 번째 줄 내용입니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 확률의 기본 성질, 특히 여사건의 확률과 드 모르간 법칙을 이용하여 주어진 조건으로부터 필요한 확률 값을 유도해내는 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 드 모르간 법칙의 활용: \(P(X^C \cup Y)\) 형태의 확률이 주어졌을 때, 그 여사건 \((X^C \cup Y)^C = X \cap Y^C\) 의 확률을 \(1 – P(X^C \cup Y)\) 로 쉽게 구할 수 있습니다. 이는 복잡한 합집합/교집합/여집합 관계를 단순화하는 데 유용합니다.
- 사건의 분할: 어떤 사건(예: A)을 다른 사건(예: B)과의 관계를 기준으로 서로 배반인 부분 사건들의 합집합으로 나누어 생각할 수 있습니다 (\(A = (A \cap B) \cup (A \cap B^C)\)). 이를 이용하면 확률 \(P(A)\)를 각 부분 사건들의 확률의 합으로 계산할 수 있습니다 (\(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^C)\)).
주어진 확률 정보와 구하고자 하는 확률 사이의 관계를 파악하고, 확률의 기본 법칙들을 적절히 조합하여 문제를 해결하는 능력이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(P(A) = \frac{9}{20}\)
따라서 정답은 ④ 입니다.