📌 문제 이해하기
다음 수열 중 수렴하는 수열을 찾는 문제입니다.
주어진 다섯 개의 수열을 분석하여, 극한이 존재하는지 확인하고, 극한이 존재하면 그 값이 유한한 실수인지 판단해야 합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 각 수열의 극한 분석
① \( \frac{5}{2}, -\frac{7}{3}, \frac{9}{4}, -\frac{11}{5}, \frac{13}{6}, -\frac{15}{7}, \dots \)
이 수열은 홀수 번째 항과 짝수 번째 항이 다음과 같이 변합니다.
- 홀수 번째 항: \( \frac{5}{2}, \frac{9}{4}, \frac{13}{6}, \dots \) → 증가하지만 특정한 값에 수렴하지 않음.
- 짝수 번째 항: \( -\frac{7}{3}, -\frac{11}{5}, -\frac{15}{7}, \dots \) → 감소하지만 특정한 값에 수렴하지 않음.
결론: 특정한 값으로 수렴하지 않고 발산
② \( -3, 0, -\frac{3}{2}, 0, -\frac{3}{4}, 0, \dots \)
이 수열을 분석하면,
- 홀수 번째 항: \( -3, -\frac{3}{2}, -\frac{3}{4}, \dots \) → 점점 0에 가까워짐.
- 짝수 번째 항: \( 0, 0, 0, 0, \dots \) → 항상 0.
즉, 모든 항이 점점 \( 0 \)에 가까워지므로 극한이 0입니다.
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]결론: 수렴 (극한값 = 0) ✅ (정답)
③ \( 0, -1, 0, -1, 0, -1, \dots \)
이 수열은 \( 0 \)과 \( -1 \) 사이에서 반복되는 구조입니다.
즉, 특정한 값에 가까워지는 것이 아니라 두 개의 값 사이를 계속 오가므로 극한이 존재하지 않습니다.
결론: 발산
④ \( 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{3}, \frac{13}{4}, \dots \)
수열이 점점 커지며, 특정한 값에 수렴하지 않고 무한대로 증가합니다.
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty \]결론: 발산
⑤ \( 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, \dots \)
이 수열도 계속 증가하며 특정한 값에 수렴하지 않고 양의 무한대로 발산합니다.
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty \]결론: 발산
🎯 최종 정답
주어진 수열 중 유일하게 수렴하는 수열은 ②번입니다.
\[ \boxed{0} \]📝 마무리 정리
- 수열이 수렴(converge) 한다는 것은 특정한 값에 가까워지는 것을 의미합니다.
- 반대로 특정한 값으로 가까워지지 않고 계속 증가하거나 변동하면 발산(diverge) 합니다.
- 이번 문제에서 ②번 수열은 0으로 수렴하므로 정답입니다.
- 나머지 수열들은 특정한 값에 수렴하지 않고 발산합니다.