📌 문제 이해하기
주어진 수열:
\[ 2 + 1, \quad 2 + \frac{1}{2}, \quad 2 + \frac{1}{3}, \quad 2 + \frac{1}{4}, \quad \dots, \quad 2 + \frac{1}{n}, \quad \dots \]이 수열이 극한값을 가지는지, 그리고 극한값이 있다면 무엇인지 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 일반항 확인하기
주어진 수열을 일반항으로 나타내 보면,
\[ a_n = 2 + \frac{1}{n} \]으로 표현할 수 있습니다.
[Step 2] 극한값 구하기
극한을 구하기 위해 \( n \)을 무한히 크게 만들었을 때의 \( a_n \)의 값을 분석해 보겠습니다.
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{1}{n} \right) \]여기서 \( \frac{1}{n} \)을 살펴보면, \( n \)이 커질수록 \( \frac{1}{n} \)은 점점 작아져 결국 0에 가까워집니다.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]따라서,
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 2 + 0 = 2 \]즉, 이 수열은 2로 수렴합니다.
🎯 최종 정답
\[ \boxed{2} \]📝 마무리 정리
- 주어진 수열의 일반항을 확인하면 \( a_n = 2 + \frac{1}{n} \)입니다.
- 극한값을 구하기 위해 \( \frac{1}{n} \)의 극한을 분석하면, \( n \to \infty \)일 때 \( \frac{1}{n} \to 0 \)이 됩니다.
- 따라서, 주어진 수열의 극한은 2로 수렴합니다.