급수 수렴 판정 문제 풀이
다음 급수 중 수렴하는 것은?
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n-1}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} (2n+1)\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^n\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+3)}\)
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 여러 무한급수들의 수렴 여부를 판정하는 문제입니다. 각 급수의 형태에 따라 적절한 판정법을 적용해야 합니다.
- 일반항 극한 판정법 (발산 판정법): 급수 \(\sum b_n\)에서 일반항의 극한 \(\lim_{n\to\infty} b_n \neq 0\)이면 그 급수는 발산합니다. (\(\lim b_n = 0\)이라고 해서 반드시 수렴하는 것은 아닙니다.) 보기 ①, ③, ④는 이 방법으로 판정할 수 있습니다.
- 교대급수 판정법 또는 부분합의 극한 조사: 항의 부호가 번갈아 나타나는 교대급수 (보기 ②)는 일반항의 극한이 0으로 가더라도 진동하며 발산할 수 있습니다. 부분합 수열 \(\{S_n\}\)이 수렴하는지 직접 조사하거나, 교대급수 판정법의 조건을 확인합니다.
- 부분분수 분해 및 부분합 계산: 일반항이 분수 형태이고 분모가 인수분해될 때 (보기 ⑤), 부분분수로 분해하여 부분합 \(S_n\)을 계산하고 그 극한값 \(\lim_{n\to\infty} S_n\)을 구하여 수렴 여부와 수렴값을 판단할 수 있습니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 판정
급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n-1}\)의 일반항 \(b_n = \frac{n}{n-1}\)의 극한값을 계산합니다. (단, \(n=1\)일 때 분모가 0이 되므로, 문제에서 \(n=2\)부터 시작한다고 가정하거나, \(n=1\) 항을 제외하고 생각해야 합니다. 일반적으로 \(n\)이 충분히 클 때의 극한을 보므로 \(n \ge 2\)로 간주합니다.)
$$ \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n-1} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} – \frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 – \frac{1}{n}} = \frac{1}{1 – 0} = 1 $$
일반항의 극한값이 0이 아니므로 (\(1 \neq 0\)), 이 급수는 발산합니다.
Step 2: 보기 ② 판정
급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n = -1 + 1 – 1 + 1 – \dots\)
일반항 \(b_n = (-1)^n\)의 극한값 \(\lim_{n\to\infty} (-1)^n\)은 \(n\)이 홀수일 때 -1, 짝수일 때 1로 진동하므로 극한값이 존재하지 않습니다. 특히 0이 아닙니다.
따라서 일반항 극한 판정법에 의해 이 급수는 발산합니다.
(또는 부분합을 조사하면, 홀수항까지의 합 \(S_{2k-1} = -1\), 짝수항까지의 합 \(S_{2k} = 0\)이므로 부분합 수열이 수렴하지 않아 발산합니다.)
Step 3: 보기 ③ 판정
급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} (2n+1)\)의 일반항 \(b_n = 2n+1\)의 극한값을 계산합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} (2n+1) = \infty $$
일반항의 극한값이 0이 아니므로, 이 급수는 발산합니다.
Step 4: 보기 ④ 판정
급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^n\)의 일반항 \(b_n = 2^n\)의 극한값을 계산합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} 2^n = \infty $$
일반항의 극한값이 0이 아니므로, 이 급수는 발산합니다.
(이는 공비가 1보다 큰 등비급수이므로 발산한다고 판정할 수도 있습니다.)
Step 5: 보기 ⑤ 판정 (부분분수 분해 및 부분합 계산)
급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+3)}\)의 일반항 \(b_n = \frac{1}{(n+1)(n+3)}\)의 극한값은 \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\)이므로 수렴할 가능성이 있습니다. 부분합을 계산해 봅니다.
일반항 \(b_n\)을 부분분수로 분해합니다. \(\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} – \frac{1}{B}\right)\) 공식을 이용합니다.
$$ b_n = \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{(n+3)-(n+1)}\left(\frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+3}\right) $$
$$ = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+3}\right) $$
이제 제\(n\)항까지의 부분합 \(S_n\)을 계산합니다.
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k+1} – \frac{1}{k+3}\right) $$
$$ = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k+1} – \frac{1}{k+3}\right) $$
항을 순서대로 나열하여 소거되는 규칙을 찾습니다.
$$ = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{2} – \cancel{\frac{1}{4}}\right) + \left(\frac{1}{3} – \cancel{\frac{1}{5}}\right) + \left(\cancel{\frac{1}{4}} – \cancel{\frac{1}{6}}\right) + \left(\cancel{\frac{1}{5}} – \cancel{\frac{1}{7}}\right) + \dots \right. $$
$$ \left. \dots + \left(\cancel{\frac{1}{n}} – \frac{1}{n+2}\right) + \left(\cancel{\frac{1}{n+1}} – \frac{1}{n+3}\right) \right] $$
중간 항들이 소거되고 앞의 두 양수 항과 뒤의 두 음수 항이 남습니다.
$$ S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{n+2} – \frac{1}{n+3} \right) $$
이제 부분합의 극한값 \(\lim_{n\to\infty} S_n\)을 계산합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{n+2} – \frac{1}{n+3} \right) $$
\(n \to \infty\)일 때 \(\frac{1}{n+2} \to 0\)이고 \(\frac{1}{n+3} \to 0\)이므로,
$$ = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – 0 – 0 \right) $$
$$ = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12} $$
부분합의 극한값이 \(\frac{5}{12}\)로 존재하므로, 이 급수는 수렴합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다양한 형태의 무한급수의 수렴 및 발산을 판정하는 기본적인 방법을 묻고 있습니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 일반항 극한 판정법 (발산 판정법): 급수 \(\sum b_n\)에서 \(\lim_{n\to\infty} b_n \neq 0\)이면 급수는 반드시 발산합니다. 이는 수렴 판정을 위한 첫 번째 단계로 유용하게 사용됩니다. (①, ②, ③, ④ 판정에 사용됨)
- 부분합의 극한: 급수 \(\sum b_n\)의 합은 제\(n\)항까지의 부분합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k\)의 극한값 \(\lim_{n\to\infty} S_n\)으로 정의됩니다. 이 극한값이 존재하면 급수는 수렴하고, 존재하지 않으면 발산합니다. (②, ⑤ 판정에 사용됨)
- 부분분수 분해: 급수의 일반항이 \(\frac{1}{A \cdot B}\) 형태일 때, \(\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} – \frac{1}{B}\right)\)로 변형하여 부분합 계산 시 항들이 소거되도록 하는 기법입니다. (⑤ 판정에 사용됨)
- 기타 판정법 (참고): 이 문제에서는 사용되지 않았지만, 등비급수의 수렴 조건(\(|공비| < 1\)), 비교 판정법, 극한 비교 판정법, 적분 판정법, 비 판정법, 근 판정법 등 다양한 수렴 판정 방법이 있습니다.
가장 먼저 일반항의 극한이 0인지 확인하여 발산 여부를 빠르게 판단하고, 0이라면 다른 방법(부분합 계산, 등비급수 확인 등)을 사용하여 수렴 여부를 판정하는 것이 일반적인 접근 방식입니다.
✅ 최종 정답
⑤