📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 제시된 5개의 무한급수 각각의 수렴/발산 여부를 판정하고, 발산하는 급수가 총 몇 개인지 세는 문제입니다. 각 급수의 형태에 따라 적절한 판정법을 적용해야 합니다.
- 일반항 극한 판정법 (발산 판정법): \(\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0\) 이면 \(\sum a_n\)은 발산합니다. (ㄷ, ㄹ)
- p-급수 판정법 또는 조화급수: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) 형태의 급수는 \(p > 1\)이면 수렴하고, \(p \le 1\)이면 발산합니다. 특히 \(p=1\)인 경우 \(\sum \frac{1}{n}\) (조화급수)는 발산합니다. (ㄱ)
- 부분합 계산 (망원급수 형태): 일반항을 유리화하거나 부분분수로 변형하여 부분합 \(S_n\)을 구하고, \(\lim_{n\to\infty} S_n\)이 무한대로 발산하는지 확인합니다. (ㄴ)
- 등비급수 판정법: \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\) 형태의 등비급수는 공비 \(r\)에 대해 \(|r| < 1\)이면 수렴하고, \(|r| \ge 1\)이면 발산합니다. (ㅁ)
✅ 단계별 보기 분석
ㄱ. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)
이 급수는 \(p=1\)인 p-급수, 즉 조화급수(Harmonic series)입니다.
조화급수는 발산하는 것으로 잘 알려져 있습니다.
(일반항의 극한 \(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0\)이지만 급수는 발산하는 대표적인 예입니다.)
ㄴ. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}\)
일반항의 분모를 유리화합니다.
$$ \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \times \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}} $$
$$ = \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{(n+1) – n} = \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{1} = \sqrt{n+1} – \sqrt{n} $$
이제 부분합 \(S_n\)을 계산합니다.
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} – \sqrt{k}) $$
$$ = (\sqrt{2} – \sqrt{1}) + (\sqrt{3} – \sqrt{2}) + (\sqrt{4} – \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1} – \sqrt{n}) $$
중간 항들이 소거되는 망원급수 형태입니다.
$$ S_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{1} = \sqrt{n+1} – 1 $$
부분합의 극한값을 구합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+1} – 1) = \infty $$
부분합이 무한대로 발산하므로, 이 급수는 발산합니다.
ㄷ. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{1 + 2n}\)
일반항 \(a_n = \frac{n}{1 + 2n}\)의 극한값을 계산합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{1 + 2n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{1}{n} + \frac{2n}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\frac{1}{n} + 2} = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2} $$
일반항의 극한값이 0이 아니므로 (\(\frac{1}{2} \neq 0\)), 이 급수는 발산합니다.
ㄹ. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n – 2^n}{3^n + 2^n}\)
일반항 \(a_n = \frac{3^n – 2^n}{3^n + 2^n}\)의 극한값을 계산합니다. 분모의 밑이 가장 큰 항인 \(3^n\)으로 분모와 분자를 나눕니다.
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3^n}{3^n} – \frac{2^n}{3^n}}{\frac{3^n}{3^n} + \frac{2^n}{3^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1 – (\frac{2}{3})^n}{1 + (\frac{2}{3})^n} $$
\(|\frac{2}{3}| < 1\)이므로 \(\lim_{n\to\infty} (\frac{2}{3})^n = 0\)입니다.
$$ = \frac{1 – 0}{1 + 0} = 1 $$
일반항의 극한값이 0이 아니므로 (\(1 \neq 0\)), 이 급수는 발산합니다.
ㅁ. \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n\)
이 급수는 첫째항이 \(a = -\frac{1}{3}\)이고 공비가 \(r = -\frac{1}{3}\)인 등비급수입니다.
등비급수는 공비의 절댓값이 1보다 작으면 (\(|r| < 1\)) 수렴합니다.
이 경우 \(|r| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1\) 이므로, 이 급수는 수렴합니다.
(수렴값은 \(\frac{a}{1-r} = \frac{-1/3}{1 – (-1/3)} = \frac{-1/3}{4/3} = -\frac{1}{4}\) 입니다.)
✅ 발산하는 급수의 개수
위 분석 결과, 발산하는 급수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 입니다.
따라서 발산하는 급수는 총 4개입니다.
🧠 마무리 개념 정리
다양한 형태의 무한급수의 수렴 및 발산 판정 방법을 정확히 아는 것이 중요합니다.
- 일반항 극한 판정법 (필수 확인): \(\lim a_n \neq 0\) 이면 급수 \(\sum a_n\)은 발산합니다. 가장 기본적인 발산 판정법입니다.
- 조화급수 및 p-급수: \(\sum \frac{1}{n^p}\)는 \(p=1\) (조화급수)일 때 발산, \(p>1\)일 때 수렴합니다.
- 망원급수 (Telescoping Series): 부분합 \(S_n\) 계산 시 중간 항들이 소거되는 형태로, 부분합의 극한을 직접 계산하여 수렴/발산 여부 및 수렴값을 알 수 있습니다. 부분분수 분해나 유리화 후 이 형태가 되는 경우가 많습니다.
- 등비급수: \(\sum ar^{n-1}\)는 \(|r| < 1\)일 때 \(\frac{a}{1-r}\)로 수렴하고, \(|r| \ge 1\)일 때 발산합니다.
주어진 급수의 형태를 보고 가장 적절한 판정법을 선택하여 적용하는 연습이 필요합니다.
✅ 최종 정답
④ 4개